Certas países são divididos em 5 regiões cujas áreas (em km) e respectivas densidades demográficas (hab/km²) são representadas pelas matrizes M e N, nessa ordem: M = [300 240 450 180 400] N = [60 40 30 20 25]. Uma operação matricial que permite o cálculo da população total desse país é
(A) M.N.
(B) M + N.
© M.N.
(D) M.N
(E) N.M.
(A) M.N.
(B) M + N.
© M.N.
(D) M.N
(E) N.M.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um país dividido em 5 regiões. Cada região tem uma área específica em quilômetros quadrados, representada pela matriz M = [300 240 450 180 400], e uma densidade demográfica em habitantes por km², representada pela matriz N = [60 40 30 20 25]. Nosso objetivo é descobrir qual operação matricial nos permite calcular a população total desse país.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre operações com matrizes, especialmente como multiplicar duas matrizes ou somá-las. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada matriz representa:
- M: Contém as áreas das 5 regiões.
- N: Contém as densidades demográficas das mesmas 5 regiões.
A população de cada região pode ser calculada multiplicando a área pela densidade demográfica dessa região. Ou seja, para cada região $ i $:
Passo 3
Agora, para calcular a população total do país, precisamos somar a população de todas as regiões. Em termos de matrizes, isso significa que queremos somar os produtos correspondentes das matrizes M e N.
Matematicamente, isso é equivalente a calcular o produto escalar (ou produto punto) das duas matrizes. O produto escalar de duas matrizes $ M = [m_1, m_2, m_3, m_4, m_5] $ e $ N = [n_1, n_2, n_3, n_4, n_5] $ é calculado assim:
Passo 4
Vamos aplicar essa operação com os valores fornecidos:
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os resultados:
Então, a população total do país é de 54.700 habitantes.
Resposta
A operação que permite calcular a população total do país é M.N.