Certas países são divididos em 5 regiões cujas áreas (em km) e respectivas densidades demográficas (hab/km²) são representadas pelas matrizes M e N, nessa ordem: M = [300 240 450 180 400] N = [60 40 30 20 25]. Uma operação matricial que permite o cálculo da população total desse país é
(A) M.N.
(B) M + N.
© M.N.
(D) M.N
(E) N.M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um país dividido em 5 regiões. Cada região tem uma área específica em quilômetros quadrados, representada pela matriz M = [300 240 450 180 400], e uma densidade demográfica em habitantes por km², representada pela matriz N = [60 40 30 20 25]. Nosso objetivo é descobrir qual operação matricial nos permite calcular a população total desse país.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre operações com matrizes, especialmente como multiplicar duas matrizes ou somá-las. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada matriz representa:
  • M: Contém as áreas das 5 regiões.
  • N: Contém as densidades demográficas das mesmas 5 regiões.
A população de cada região pode ser calculada multiplicando a área pela densidade demográfica dessa região. Ou seja, para cada região $ i $:
i çãÁ

Passo 3

Agora, para calcular a população total do país, precisamos somar a população de todas as regiões. Em termos de matrizes, isso significa que queremos somar os produtos correspondentes das matrizes M e N.
Matematicamente, isso é equivalente a calcular o produto escalar (ou produto punto) das duas matrizes. O produto escalar de duas matrizes $ M = [m_1, m_2, m_3, m_4, m_5] $ e $ N = [n_1, n_2, n_3, n_4, n_5] $ é calculado assim:
M = [m1, m2, m3, m4, m5]

Passo 4

Vamos aplicar essa operação com os valores fornecidos:
M cdot N = (300 times 60) + (240 times 40) + (450 times 30) + (180 times 20) + (400 times 25)
Calculando cada termo:
300 times 60 = 18,000
240 times 40 = 9,600
450 times 30 = 13,500
180 times 20 = 3,600
400 times 25 = 10,000

Passo 5

Agora, somamos todos os resultados:
18,000 + 9,600 + 13,500 + 3,600 + 10,000 = 54,700
Então, a população total do país é de 54.700 habitantes.

Resposta

A operação que permite calcular a população total do país é M.N.

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