Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1, P2, P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pn é igual a n2. Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4. De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3, no mínimo, nota: R: 8,4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular a nota final de um aluno com base em três provas (P1, P2 e P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final é uma média aritmética ponderada, onde cada prova tem um peso específico: o peso da prova Pn é igual a n^2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a nota mínima que o aluno precisa tirar na prova P3 para ser aprovado, independente das notas que ele tirar nas provas P1 e P2. A nota mínima para aprovação é 5,4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular essa média ponderada. A média ponderada é diferente da média simples porque cada componente (no caso, cada prova) tem um peso diferente. A fórmula geral da média ponderada é:
Média Ponderada = sum (peso times valor)sum pesos é
No nosso caso, temos três provas com pesos 1^2, 2^2 e 3^2, que são 1, 4 e 9, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. A nota final N será:
N = 1 times P1 + 4 times P2 + 9 times P31 + 4 + 9
Simplificando o denominador:
1 + 4 + 9 = 14
Então, a fórmula fica:
N = P1 + 4P2 + 9P314

Passo 4

Queremos que o aluno seja aprovado independentemente das notas em P1 e P2. Isso significa que, para garantir a aprovação, devemos considerar o pior cenário possível: as notas de P1 e P2 são as menores possíveis, ou seja, zero.
Então, vamos substituir P1 = 0 e P2 = 0 na fórmula:
5,4 <= 0 + 0 + 9P314

Passo 5

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar o valor mínimo de P3:
5,4 <= 9P314
Multiplicando ambos os lados por 14 para eliminar o denominador:
5,4 times 14 <= 9P3
75,6 <= 9P3
Agora, dividindo ambos os lados por 9:
P3 >= 75,69
P3 >= 8,4

Resposta

Então, o aluno precisa tirar no mínimo 8,4 pontos na prova P3 para ser aprovado, independentemente das notas que ele tiver nas provas P1 e P2.

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