Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1, P2, P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pn é igual a n2. Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4. De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3, no mínimo, nota: R: 8,4
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular a nota final de um aluno com base em três provas (P1, P2 e P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final é uma média aritmética ponderada, onde cada prova tem um peso específico: o peso da prova Pn é igual a
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a nota mínima que o aluno precisa tirar na prova P3 para ser aprovado, independente das notas que ele tirar nas provas P1 e P2. A nota mínima para aprovação é 5,4.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular essa média ponderada. A média ponderada é diferente da média simples porque cada componente (no caso, cada prova) tem um peso diferente. A fórmula geral da média ponderada é:
No nosso caso, temos três provas com pesos
,
e
, que são 1, 4 e 9, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. A nota final
será:
Simplificando o denominador:
Então, a fórmula fica:
Passo 4
Queremos que o aluno seja aprovado independentemente das notas em P1 e P2. Isso significa que, para garantir a aprovação, devemos considerar o pior cenário possível: as notas de P1 e P2 são as menores possíveis, ou seja, zero.
Então, vamos substituir
e
na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar o valor mínimo de
:
Multiplicando ambos os lados por 14 para eliminar o denominador:
Agora, dividindo ambos os lados por 9:
Resposta
Então, o aluno precisa tirar no mínimo 8,4 pontos na prova P3 para ser aprovado, independentemente das notas que ele tiver nas provas P1 e P2.