1. Num certo instante, uma amostra de gás que obedece à Lei de Boyle ocupa um volume de 1000 m^{3} a uma pressão de 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Se esse gás está sendo comprimido isotermicamente à taxa d 12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, ache a taxa com que a pressão está crescendo no instante em que o volume é 600 \mathrm{~m}^{3}.
    Da relação de Boyle p V=c com c constante, conhecendo V_{0}=1000 m^{3}, p_{0}=10 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e V_{f}=600 \mathrm{~m}^{3} obtemos p_{f}.
p_{0} V_{0}=p_{f} V_{f} \Longrightarrow p_{f}=\frac{50}{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}
Derivando a equação p V=c em relação ao tempo obtemos:
\frac{d p}{d t} V+p \frac{d V}{d t}=0
Na qual substituimos \frac{d V}{d t}=-12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, V_{f}=600 \mathrm{~m}^{3} e p_{f}=\frac{50}{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} obtendo:
\frac{d p}{d t}=\frac{1}{3} \frac{N}{m^{2} \min }

Passo 1

O enunciado diz que o gás obedece à Lei de Boyle, ou seja,
pV = c
onde c é constante. Num certo instante temos volume inicial V_0 = 1000,m ^3 e pressão inicial p_0 = 10,N/m ^2. O volume está sendo comprimido isotermicamente à taxa
\displaystyle \frac{dV}{dt} = -12,m ^3/min. Queremos encontrar a taxa de variação da pressão \displaystyle \frac{dp}{dt} quando V = 600,m ^3.

Passo 2

Usamos pV=c para determinar a constante c a partir dos valores iniciais:
c = p_0\,V_0 = 10 \times 1000 = 10000.

Passo 3

No instante em que V = 600,m ^3, a pressão vale
p = \frac{c}{V} = \frac{10000}{600} = \frac{50}{3}\text{ N/m}^2.

Passo 4

Para relacionar as taxas, derivamos implicitamente pV=c em relação a t:
\frac{d}{dt}(pV)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dt}\,V \;+\; p\,\frac{dV}{dt} \;=\; 0.

Passo 5

Isolando \displaystyle \frac{dp}{dt} e substituindo V=600, p=\tfrac{50}{3} e \displaystyle \frac{dV}{dt}=-12:
\frac{dp}{dt} = -\,\frac{p}{V}\,\frac{dV}{dt} = -\,\frac{\tfrac{50}{3}}{600}\times(-12) = \frac{50}{3}\,\frac{12}{600} = \frac{600}{1800} = \frac{1}{3}.

Resposta

A pressão está crescendo à taxa \displaystyle \frac{dp}{dt} = \tfrac{1}{3} N/(m ^2 \cdotmin).

Exercícios relacionados