Um certo seletor de velocidades deixa passar um feixe de moléculas provenientes de um forno, na temperatura T, mas bloqueia a passagem de moléculas com velocidade maior do que a velocidade média. Qual a velocidade média das moléculas do feixe que atravessa o seletor, relativamente ao valor inicial, admitindo o problema como unidimensional?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um feixe de moléculas saindo de um forno a temperatura T, e um seletor que só deixa passar as moléculas cuja velocidade (unidimensional) é menor ou igual à velocidade média inicial. Queremos achar a nova velocidade média desse feixe “filtrado”, mas expressa em função da velocidade média inicial.
Conteúdo: distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann em 1D e cálculo de média condicional (truncamento). Vamos precisar
  1. do pdf da velocidade em 1D,
  2. da velocidade média inicial,
  3. da probabilidade de uma molécula passar,
  4. da média de velocidade truncada.

Passo 2

  1. Distribuição de velocidades (módulo da velocidade) em 1D:
f(u) ;=; raiz2mpi kT;e^-m,u^22kT para u>=0
  1. Velocidade média inicial é
bar u ;=;integral0^inftyu,f(u),du ;=;raiz2kTpi m
Chamando a=bar u=raiztfrac2kTpi m, já temos nosso “corte”.

Passo 3

Agora a probabilidade de uma molécula ter u<= a (ou seja, passar no seletor) é

Passo 4

A média truncada (condicional) é
lang<= urang<=!u<= a =integral0^au,f(u),duP(u<= a)
O numerador dá
integral0^au,f(u),du =raiztfrac2mpi kT, integral0^au,e^-m,u^22kT,du =raiztfrac2kTpi m, l[1 - e^-m,a^22kTr] =bar u;l[1 - e^-tfrac1pir]

Passo 5

Logo, a velocidade média das que passam é
E o exercício quer essa relação “relativamente ao valor inicial”, ou seja

Resposta

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