Imagine moléculas de um gás que estão restritas a movimentos num plano (gás bidimensional). Calcule a distribuição de velocidades e determine a velocidade média das moléculas na temperatura
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um gás cujas moléculas só podem se mexer num plano (ou seja, bidimensional). A missão é:
- achar a distribuição de velocidades (ou seja, a função
tal que é a probabilidade de achar uma molécula com velocidade entre e ); - calcular a velocidade média
a uma temperatura .
Conteúdo que vamos usar: Mecânica Estatística – distribuição de Maxwell–Boltzmann em 2D, mudança para coordenadas polares em velocidade, integração para norma e média. Não precisa ter estudado a fundo: a gente explica tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em Maxwell–Boltzmann cada componente de velocidade
e
é distribuída como gaussiana independente. Em 2D, a densidade de probabilidade conjunta é
onde
é a massa da molécula e
a constante de Boltzmann. A normalização vem de
.
Passo 3
Agora passamos para coordenadas polares no espaço de velocidades:
e o elemento de área vira
.
Substituindo em , a distribuição conjunta em
fica
Substituindo em
Para achar a distribuição só da magnitude
, integramos
de
a
:
Passo 4
Agora a velocidade média é
onde
. Para calcular a integral usamos
.
Logo
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Resposta
Distribuição de velocidades (em 2D):
Velocidade média das moléculas a
: