Imagine moléculas de um gás que estão restritas a movimentos num plano (gás bidimensional). Calcule a distribuição de velocidades e determine a velocidade média das moléculas na temperatura T.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um gás cujas moléculas só podem se mexer num plano (ou seja, bidimensional). A missão é:
  1. achar a distribuição de velocidades (ou seja, a função tal que é a probabilidade de achar uma molécula com velocidade entre e );
  2. calcular a velocidade média a uma temperatura .
    Conteúdo que vamos usar: Mecânica Estatística – distribuição de Maxwell–Boltzmann em 2D, mudança para coordenadas polares em velocidade, integração para norma e média. Não precisa ter estudado a fundo: a gente explica tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em Maxwell–Boltzmann cada componente de velocidade P(vx,vy) =m2pi kT, exp!l(-m(vx^2+vy^2)2kTr), e é distribuída como gaussiana independente. Em 2D, a densidade de probabilidade conjunta é
onde é a massa da molécula e a constante de Boltzmann. A normalização vem de
.

Passo 3

Agora passamos para coordenadas polares no espaço de velocidades:
vx = vcostheta, vy = vsintheta,
e o elemento de área vira P(v,theta) =m2pi kT,exp!l(-mv^22kTr),v .
Substituindo em f(v)=integral0^2piP(v,theta),dtheta =m2pi kT,v,exp!l(-mv^22kTr)times2pi =mkT;v;exp!l(-mv^22kTr) , a distribuição conjunta em fica
Para achar a distribuição só da magnitude , integramos de a :

Passo 4

Agora a velocidade média é
lang<= vrang<= =integral0^inftyv;f(v),dv =integral0^inftyv;mkT;v,e^-mv^22kT,dv =mkTintegral0^inftyv^2,e^-a v^2,dv,
onde lang<= vrang<= =mkT;raizpi4;a^-3/2 =raizpi4,mkT, l(m2kTr)^-tfrac32 =raizpi kT2m . Para calcular a integral usamos
.
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Resposta

Distribuição de velocidades (em 2D):
boxedf(v)=mkT;v;exp!l(-mv^22kTr)
Velocidade média das moléculas a boxedlang<= vrang<= =raizpi,kT2,m, :

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