A chamada expansão Joule-Thomson ou “expansão estrangulada” de um gás é um processo adiabático irreversível, porém isoentálpico. Em virtude da entalpia ser constante é possível relacionar a queda de temperatura e a queda de pressão a parâmetros termodinâmicos do sistema. Sendo o coeficiente Joule-Thomson \mu_{\mathrm{JT}} :
\mu_{J T}=\left(\frac{\Delta T}{\Delta P}\right)_{H}
mostre que
\mu_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}=-\frac{1}{C_{P}}\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}=\frac{V}{C_{P}}\left(T \alpha_{P}-1\right)

Passo 1

O enunciado trata da expansão Joule–Thomson, um processo adiabático irreversível que ocorre a entalpia constante ( H= const). Definimos o coeficiente
\mu_{JT}=\Bigl(\frac{\Delta T}{\Delta P}\Bigr)_{H}
e queremos mostrar que
\mu_{JT}=\Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H} =-\frac{1}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T} =\frac{V}{C_{P}}\bigl(T\,\alpha_{P}-1\bigr).
Para isso vamos usar a diferencial de entalpia e relações de Maxwell.

Passo 2

A entalpia H é função de T e P, então sua diferencial total é
dH = \Bigl(\frac{\partial H}{\partial T}\Bigr)_{P}dT \;+\;\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T}dP.
Mas por definição de capacidade a pressão constante, \bigl(\partial H/\partial T\bigr)_{P}=C_{P}. Logo
dH = C_{P}\,dT + \Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T}dP.
No processo Joule–Thomson H é constante, ou seja dH=0. Desse modo isolamos
0 = C_{P}\,dT + \Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T}dP \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H} =-\frac{1}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T}.
Isso já prova a segunda igualdade.

Passo 3

Para achar \bigl(\partial H/\partial P\bigr)_{T} usamos H=U+PV. A diferencial é
dH = dU + P\,dV + V\,dP.
Pela primeira lei dU = T\,dS - P\,dV. Substituindo em dH fica
dH = T\,dS + V\,dP.
Tomando a derivada parcial a temperatura constante,
\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T} = T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_{T} + V.
A partir de uma relação de Maxwell temos
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_{T} =-\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} =-V\,\alpha_{P},
onde \alpha_{P}=(1/V)\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_{P} é o coeficiente de expansão térmica. Assim
\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T} = T\,\bigl(-V\,\alpha_{P}\bigr) + V = V\,(1 - T\,\alpha_{P}).

Passo 4

Substituindo esse resultado em
\mu_{JT} =-\frac{1}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T}
vem
\mu_{JT} =-\frac{1}{C_{P}}\bigl[V\,(1 - T\,\alpha_{P})\bigr] =\frac{V}{C_{P}}\,(T\,\alpha_{P}-1).

Resposta

\boxed{\mu_{JT} =\Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H} =-\frac{1}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_{T} =\frac{V}{C_{P}}\bigl(T\,\alpha_{P}-1\bigr).}

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