3- Uma chaminé alta, de forma cilíndrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chaminé como um bastâo fino, de altura
, (a) deduza, por técnicas de integração, o momento de inércia com relaçăo a um eixo que passa pelo seu centro de massa; expresse (b) a componente radial da aceleraçäo linear do topo da chaminé, em função do ángulo
que ela faz com a vertical, e (c) a componente tangencial dessa mesma aceleraçăo. (d) Em que ânguio
a aceleração linear é igual a g ?
Passo 1
O enunciado trata uma chaminé de altura
como um bastão fino uniforme que gira ao cair em torno de sua base. Precisamos de (a) momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, por integração; (b) componente radial da aceleração linear do topo em função do ângulo
com a vertical; (c) componente tangencial dessa aceleração; (d) determinar o ângulo
em que a aceleração linear total do topo vale
. Usaremos integração para o momento de inércia, o teorema dos eixos paralelos, equação rotacional
, conservação de energia e kinemática de corpo em rotação.
Passo 2
Para
integramos sobre o bastão centrado em zero:
com
. Assim
Passo 3
O bastão gira em torno da base; pelo teorema dos eixos paralelos,
O torque devido ao peso é
, e a equação rotacional dá
Passo 4
Pela conservação de energia, a perda de energia potencial
vira energia cinética rotacional
. Logo
Passo 5
O componente radial da aceleração linear do topo (distância
ao pivô) é
Passo 6
O componente tangencial do mesmo ponto é
Passo 7
Para achar
em que a aceleração total
vale
, impomos
Isso leva a
, ou seja
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)