9- Uma chapa de aço é exposta a uma atmosfera nitrogênio em ambos os lados a 1200^{\circ} \mathrm{C} Se uma condição de estado estacionário é atingida, calcule o fluxo de nitrogênio através da placa, sabendo que a concentração de nitrogênio nas posições a 5 mm e a 10 mm abaixo da superfície são de 1,0 e 0,5 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, respectivamente. Suponha um coeficiente de difusão de 6 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de nitrogênio através da chapa no estado estacionário. Informações dadas:
  • Concentração de nitrogênio a x=5\\ \mathrm{mm} (5 mm abaixo da superfície): c(0,005\\ \mathrm{m})=1,0\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Concentração de nitrogênio a x=10\\ \mathrm{mm} (10 mm abaixo da superfície): c(0,010\\ \mathrm{m})=0,5\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Coeficiente de difusão: D=6\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}.
  • Pressuposto: condição de estado estacionário foi atingida (fluxo constante no interior).
    A tarefa é calcular o fluxo de nitrogênio J (em \mathrm{kg\\ m^{-2}\\ s^{-1}}) e indicar sua direção.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem): em difusão molecular unidimensional, sob condição de estado estacionário e coeficiente de difusão constante, vale a Lei de Fick para fluxo estacionário (primeira lei):
J = -D\,\frac{dc}{dx}.
Aqui:
  • J é o fluxo de massa de nitrogênio através da área, com unidades \mathrm{kg\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.
  • D é o coeficiente de difusão, com unidades \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}.
  • c é a concentração (massa por volume) em \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • x é a coordenada espacial em \mathrm{m}.
    O sinal negativo aparece porque a difusão ocorre no sentido de diminuir gradientes de concentração: se c diminui com x, então dc/dx<0 e J>0 indica fluxo no sentido de aumento de x.
Unidade da expressão: \mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}\times\mathrm{kg\\ m^{-4}}=\mathrm{kg\\ m^{-2}\\ s^{-1}}, então faz sentido.

Passo 3

Escolha de coordenada e aproximação do gradiente: tomamos x medido para baixo a partir da superfície, logo os pontos são
x_1 = 0,005\\ \mathrm{m},\quad c_1 = 1,0\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}},
x_2 = 0,010\\ \mathrm{m},\quad c_2 = 0,5\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
Em estado estacionário com D constante, o perfil de concentração entre duas posições costuma ser aproximadamente linear; com apenas dois pontos podemos calcular o gradiente médio usando diferença finita:
\frac{dc}{dx}\approx\frac{c_2-c_1}{x_2-x_1}.

Passo 4

Calcular o gradiente numérico, mostrando as contas:
\frac{dc}{dx}\approx\frac{0,5-1,0}{0,010-0,005}=\frac{-0,5}{0,005}=-100\\ \mathrm{kg\\ m^{-4}}.
Portanto o gradiente é -100\\ \mathrm{kg\\ m^{-4}} (a concentração diminui ao aumentar x).

Passo 5

Agora aplicamos a Lei de Fick:
J = -D\,\frac{dc}{dx} = -\left(6\times10^{-11}\right)\times\left(-100\right).
Fazendo a multiplicação:
J = 6\times10^{-9}\\ \mathrm{kg\\ m^{-2}\\ s^{-1}}.

Passo 6

Interpretação do sinal e resultado final: o valor positivo de J (com a nossa escolha de x para baixo) significa que o fluxo está dirigido no sentido de aumentar x, ou seja, do exterior para o interior da chapa (nitrogênio difunde para dentro, do ponto mais concentrado para o menos concentrado). O módulo do fluxo é muito pequeno (ordem de 10^{-9}), típico de difusão sólida lenta a esse coeficiente.

Resposta

J = 6\times10^{-9}\\ \mathrm{kg\\ m^{-2}\\ s^{-1}} (fluxo dirigido para o interior da chapa).

Exercícios relacionados