Dada a contagem bidirecional anual de veículos comerciais abaixo, calcular o número N ano a ano e acumulado segundo metodologia da AASHTO e USACE. Sem sobrecarga nos eixos e veículos.
Considerar: \mathrm{P}=10 anos; \mathrm{t}=2 \% ao ano (Linear).
VEÍCULO QUANTIDADE
2C 88.000
3C 112.000
2S2 36.000
2S3 104.000
3S3 24.000
2C2 4.000
3C3 32.000
TOTAL 400.000

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número N ano a ano e acumulado segundo as metodologias AASHTO e USACE para um horizonte de projeto de P=10 anos, com taxa de crescimento linear de t=2\% ao ano. Os dados fornecidos na tabela (peguei estes números da tabela enviada) são as contagens anuais bidirecionais por tipo de veículo:
  • 2C: 88{.}000
  • 3C: 112{.}000
  • 2S2: 36{.}000
  • 2S3: 104{.}000
  • 3S3: 24{.}000
  • 2C2: 4{.}000
  • 3C3: 32{.}000
Total anual (soma das contagens): 400{.}000.
O que o problema exige concretamente:
  • Calcular N ano a ano (ou seja, o número convertido para a unidade de projeto — tipicamente ESALs — para cada ano k=1,\dots,10) segundo AASHTO.
  • Calcular N ano a ano segundo USACE.
  • Calcular N acumulado no período P=10 anos, para cada metodologia.
Observação importante: para transformar contagens de veículos em N (ESALs ou repetições de eixo padrão) é necessário usar fatores de equivalência (fatores ESAL por classe de veículo) próprios de cada metodologia (AASHTO e USACE). Esses fatores não foram fornecidos no enunciado. Sem eles não é possível obter números numéricos definitivos. A seguir eu explico a metodologia passo a passo e, para que você tenha um exemplo completo e veja exatamente como fazer na prova, apresento um cálculo numérico ilustrativo usando fatores assumidos (claramente marcados como suposições). Se você tiver a tabela de fatores da sua disciplina, basta substituir os fatores que eu usei pelos da sua tabela e repetir os cálculos que eu demonstro.

Passo 2

Explicando a teoria (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
  1. O que é N aqui?
    • Em projetos de pavimentos, N normalmente significa o número de repetições equivalentes de eixo padrão de 80\\ \text{kN} (ESALs) durante o período de projeto. Cada veículo é convertido em um número de ESALs usando um fator de equivalência que depende do tipo de veículo e da metodologia (AASHTO, USACE, etc.).
  2. Fórmula básica para o total inicial anual de ESALs (ano base, ano 1):
    • Se tivermos classes de veículo i com contagem anual V_i e fator de equivalência f_i (ESAL por veículo), o total anual de ESALs no ano base é
    E_0=\sum_{i} V_i \cdot f_i.
    • Aqui E_0 é o total de ESALs no ano 1 (ano base).
  3. Crescimento linear anual:
    • O enunciado diz t=2\% ao ano (Linear). Crescimento linear significa que a contagem cresce adicionando t vezes o valor base a cada ano (não é capitalização composta). Assim, o total de ESALs no ano k (com k=1 para o ano base) é
    E_k = E_0\bigl(1 + t\cdot (k-1)\bigr).
    • Ex.: ano 2 é E_2 = E_0(1+t), ano 3 é E_3 = E_0(1+2t), etc.
  4. Total acumulado no período P (soma dos E_k de k=1 a P):
    • Como E_k forma uma progressão aritmética (PA) com razão E_0 t, a soma acumulada E_{acum} é
    E_{acum}=\sum_{k=1}^{P} E_k = P\cdot E_0 + E_0 t \sum_{k=1}^{P} (k-1).
    • Forma fechada (PA): como \displaystyle E_1=E_0 e \displaystyle E_P=E_0(1+t(P-1)),
    E_{acum}=\frac{P}{2}\bigl(E_1 + E_P\bigr)=\frac{P}{2}\bigl(E_0 + E_0(1+t(P-1))\bigr).
  5. Diferença entre AASHTO e USACE:
    • A diferença numérica surge porque cada metodologia usa uma tabela própria de fatores f_i. O procedimento de crescimento e soma é o mesmo; o que muda são os f_i.

Passo 3

Lista do que é necessário para computar valores numéricos EXATOS (e que não foi fornecido no enunciado):
  • A tabela de fatores de equivalência (ESAL por veículo) segundo AASHTO: f_i^{(AASHTO)} para cada classe i.
  • A tabela de fatores de equivalência segundo USACE: f_i^{(USACE)} para cada classe i.
    Sem essas tabelas não se obtém os números finais definitivos. Como disse, vou prosseguir com um exemplo numérico usando fatores assumidos para mostrar passo-a-passo como fazer o cálculo na prova.

Passo 4

Assunção (marcada): fatores adotados aqui como exemplo (substitua esses valores pelos da sua tabela de prova). Estes fatores são apenas ilustrativos para mostrar o procedimento completo.
Fatores AASHTO (assumidos, ESAL por veículo):
  • f_{2C}^{(A)}=0{,}20
  • f_{3C}^{(A)}=0{,}70
  • f_{2S2}^{(A)}=2{,}00
  • f_{2S3}^{(A)}=3{,}00
  • f_{3S3}^{(A)}=4{,}00
  • f_{2C2}^{(A)}=0{,}50
  • f_{3C3}^{(A)}=1{,}00
Fatores USACE (assumidos, ESAL por veículo):
  • f_{2C}^{(U)}=0{,}10
  • f_{3C}^{(U)}=0{,}60
  • f_{2S2}^{(U)}=1{,}80
  • f_{2S3}^{(U)}=2{,}80
  • f_{3S3}^{(U)}=3{,}50
  • f_{2C2}^{(U)}=0{,}40
  • f_{3C3}^{(U)}=0{,}90
(Novamente: estes são exemplos; use os fatores da sua aula se tiver.)

Passo 5

Cálculo do total anual inicial E_0 segundo AASHTO (usando os f_i^{(A)} assumidos). Vou calcular cada contribuição V_i\cdot f_i^{(A)}:
  • Para 2C: 88{.}000 \times 0{,}20 = 17{.}600.
  • Para 3C: 112{.}000 \times 0{,}70 = 78{.}400.
  • Para 2S2: 36{.}000 \times 2{,}00 = 72{.}000.
  • Para 2S3: 104{.}000 \times 3{,}00 = 312{.}000.
  • Para 3S3: 24{.}000 \times 4{,}00 = 96{.}000.
  • Para 2C2: 4{.}000 \times 0{,}50 = 2{.}000.
  • Para 3C3: 32{.}000 \times 1{,}00 = 32{.}000.
Somando:
E_0^{(A)} = 17{.}600 + 78{.}400 + 72{.}000 + 312{.}000 + 96{.}000 + 2{.}000 + 32{.}000 = 610{.}000.
Portanto, ano base (ano 1) segundo AASHTO (exemplo) é \displaystyle E_0^{(A)}=610{.}000 ESALs.

Passo 6

Cálculo do total anual inicial E_0 segundo USACE (usando f_i^{(U)} assumidos). Contribuições:
  • 2C: 88{.}000 \times 0{,}10 = 8{.}800.
  • 3C: 112{.}000 \times 0{,}60 = 67{.}200.
  • 2S2: 36{.}000 \times 1{,}80 = 64{.}800.
  • 2S3: 104{.}000 \times 2{,}80 = 291{.}200.
  • 3S3: 24{.}000 \times 3{,}50 = 84{.}000.
  • 2C2: 4{.}000 \times 0{,}40 = 1{.}600.
  • 3C3: 32{.}000 \times 0{,}90 = 28{.}800.
Somando:
E_0^{(U)} = 8{.}800 + 67{.}200 + 64{.}800 + 291{.}200 + 84{.}000 + 1{.}600 + 28{.}800 = 546{.}400.
Portanto, ano base segundo USACE (exemplo) é \displaystyle E_0^{(U)}=546{.}400 ESALs.

Passo 7

Calcular E_k ano a ano em regime linear de crescimento t=2\%. Fórmula usada (lembrando t=0{,}02):
E_k = E_0\bigl(1 + 0{,}02\cdot (k-1)\bigr),\qquad k=1,\dots,10.
No caso AASHTO (usando E_0^{(A)}=610{.}000): como o aumento anual é E_0^{(A)}\cdot t = 610{.}000\times 0{,}02 = 12{.}200, os valores ano a ano são uma PA com razão 12{.}200. Assim:
  • Ano 1: E_1^{(A)} = 610{.}000.
  • Ano 2: E_2^{(A)} = 610{.}000 + 12{.}200 = 622{.}200.
  • Ano 3: E_3^{(A)} = 634{.}400.
  • Ano 4: E_4^{(A)} = 646{.}600.
  • Ano 5: E_5^{(A)} = 658{.}800.
  • Ano 6: E_6^{(A)} = 671{.}000.
  • Ano 7: E_7^{(A)} = 683{.}200.
  • Ano 8: E_8^{(A)} = 695{.}400.
  • Ano 9: E_9^{(A)} = 707{.}600.
  • Ano 10: E_{10}^{(A)} = 719{.}800.
Somando para o acumulado (PA): usando fórmula da soma
E_{acum}^{(A)}=\frac{P}{2}\bigl(E_1^{(A)}+E_{10}^{(A)}\bigr)=5\bigl(610{.}000 + 719{.}800\bigr)=6{.}649{.}000.

Passo 8

Calcular E_k ano a ano segundo USACE (com E_0^{(U)}=546{.}400). A razão anual é E_0^{(U)}\cdot t = 546{.}400\times 0{,}02 = 10{.}928. Valores:
  • Ano 1: E_1^{(U)} = 546{.}400.
  • Ano 2: E_2^{(U)} = 546{.}400 + 10{.}928 = 557{.}328.
  • Ano 3: E_3^{(U)} = 568{.}256.
  • Ano 4: E_4^{(U)} = 579{.}184.
  • Ano 5: E_5^{(U)} = 590{.}112.
  • Ano 6: E_6^{(U)} = 601{.}040.
  • Ano 7: E_7^{(U)} = 611{.}968.
  • Ano 8: E_8^{(U)} = 622{.}896.
  • Ano 9: E_9^{(U)} = 633{.}824.
  • Ano 10: E_{10}^{(U)} = 644{.}752.
Acumulado (PA):
E_{acum}^{(U)}=\frac{10}{2}\bigl(E_1^{(U)}+E_{10}^{(U)}\bigr)=5\bigl(546{.}400 + 644{.}752\bigr)=5{.}955{.}760.

Passo 9

Interpretação e instruções práticas para a prova (resumindo o método que você deve aplicar rápido):
  1. Pegue a tabela de fatores f_i da sua metodologia (AASHTO ou USACE).
  2. Calcule E_0=\sum V_i f_i.
  3. Use E_k=E_0(1+t(k-1)) para cada ano k.
  4. Some com a fórmula de PA para obter o acumulado em P anos:
E_{acum}=\frac{P}{2}\bigl(E_1 + E_P\bigr).
  1. Se o enunciado pedir sem sobrecarga nos eixos/veículos, não aplique nenhum fator adicional de sobrecarga — use os f_i “nominais”.
Dica de prova: tenha à mão sua tabela de fatores. Se o enunciado der apenas as contagens e pedir “segundo AASHTO” — substitua o vetor de f_i e execute os passos acima; é um cálculo repetitivo, mas linear.

Resposta

AASHTO (usando fatores ilustrativos adotados acima):
Ano 1: 610{.}000
Ano 2: 622{.}200
Ano 3: 634{.}400
Ano 4: 646{.}600
Ano 5: 658{.}800
Ano 6: 671{.}000
Ano 7: 683{.}200
Ano 8: 695{.}400
Ano 9: 707{.}600
Ano 10: 719{.}800
Acumulado 10 anos: 6{.}649{.}000
USACE (usando fatores ilustrativos adotados acima):
Ano 1: 546{.}400
Ano 2: 557{.}328
Ano 3: 568{.}256
Ano 4: 579{.}184
Ano 5: 590{.}112
Ano 6: 601{.}040
Ano 7: 611{.}968
Ano 8: 622{.}896
Ano 9: 633{.}824
Ano 10: 644{.}752
Acumulado 10 anos: 5{.}955{.}760
(Observação final: os números acima são resultados completos do procedimento usando os fatores de equivalência marcados como “assumidos”. Se você tiver a tabela oficial de fatores AASHTO e USACE da sua disciplina, substitua os f_i por esses valores e refaça os mesmos cálculos; o procedimento e as fórmulas não mudam.)

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