Uma chapa de ferro com estrutura CCC e 1 mm de espessura está exposta a uma atmosfera gasosa carbonetante em um de seus lados e a uma atmosfera a descarbonetante no outro lado a 725^{\circ} \mathrm{C}. Após ter atingido a condição de estado estacionário o ferro foi rapidamente resfriado a temperatura ambiente. As concentrações de carbono nas duas superfícies da chapa foram determinadas como sendo de 0,012 e 0,0075 \% p. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo de difusão é de 1,4 \times 10^{-8} \mathrm{~kg} / m^{2}-\mathrm{s}.
(Dica: para calcular as concentrações " c " de carbono \left(k g / m^{3}\right) você pode utilizar a massa específica do Fe)
\left[3,9 x 10^{-11} m^{2} / s\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Espessura da chapa: L = 1\\ \text{mm} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Concentrações de carbono nas superfícies (percentual em massa):
    • superfície 1: 0{,}012\\ \% em massa;
    • superfície 2: 0{,}0075\\ \% em massa.
  • Fluxo de difusão (módulo): J = 1{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{kg}\,/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}).
  • Condição: estado estacionário (gradiente de concentração linear entre as superfícies).
  • Pedido: calcular o coeficiente de difusão D (em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}).
Observação útil (seguirei esta hipótese): as percentagens são frações em massa; para ter concentrações em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} usa-se a massa específica do ferro \rho_{\mathrm{Fe}}.

Passo 2

Como passar de \% em massa para concentração absoluta c (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})
  • Se a fração mássica do carbono é w (por exemplo w=0{,}00012 para 0{,}012\%), a concentração massiva de carbono é
c = \rho_{\mathrm{Fe}}\; w,
onde \rho_{\mathrm{Fe}} é a massa específica do ferro em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Vou usar a massa específica típica do ferro puro
\rho_{\mathrm{Fe}} = 7874\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
(Isto é um valor padrão que o enunciado autorizou a usar.)

Passo 3

Converter as percentagens dadas em frações e calcular c em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Para a superfície 1: 0{,}012\\ \% = 0{,}012/100 = 1{,}2\times10^{-4}.
c_{1} = \rho_{\mathrm{Fe}}\cdot1{,}2\times10^{-4} = 7874\cdot1{,}2\times10^{-4} = 0{,}94488\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Para a superfície 2: 0{,}0075\\ \% = 0{,}0075/100 = 7{,}5\times10^{-5}.
c_{2} = \rho_{\mathrm{Fe}}\cdot7{,}5\times10^{-5} = 7874\cdot7{,}5\times10^{-5} = 0{,}59055\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Relacionar fluxo e coeficiente de difusão (Fick — estado estacionário)
  • A primeira lei de Fick (para estado estacionário e gradiente unidimensional) dá
J = -D\,\frac{dc}{dx}.
  • Com gradiente aproximadamente linear entre as superfícies, \displaystyle \frac{dc}{dx}\approx\frac{c_{1}-c_{2}}{L}. Tomando os módulos (já que foi dado o fluxo em módulo),
D = \frac{J\,L}{c_{1}-c_{2}}.
Aqui:
  • J é o fluxo de massa de carbono \left(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}\right),
  • L é a distância entre as superfícies \left(\mathrm{m}\right),
  • c_{1} e c_{2} são as concentrações em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Calcular \Delta c e então D.
  • Diferença de concentração:
\Delta c = c_{1}-c_{2} = 0{,}94488 - 0{,}59055 = 0{,}35433\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Aplicando a fórmula:
D = \frac{J\,L}{\Delta c} = \frac{1{,}4\times10^{-8}\cdot 1{,}0\times10^{-3}}{0{,}35433} = \frac{1{,}4\times10^{-11}}{0{,}35433} \approx 3{,}95\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
Arredondando de forma compatível com a dica do enunciado, obtemos cerca de 3{,}9\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo
  • O procedimento usado é direto: converter as % em massa para concentrações absolutas usando a densidade, assumir gradiente linear em regime estacionário e aplicar a lei de Fick.
  • Está tudo certo — é exatamente o tipo de conta que cai em prova. Você já tem a técnica: converter %, aplicar J=-D\,dc/dx e isolar D. Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esse passo a passo mais uma vez e pratica mais um ou dois exercícios parecidos.

Resposta

3,9\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}

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