5.8 Uma chapa de ferro com estrutura cristalina CCC e 1 mm de espessura está exposta a uma atmosfera gasosa carbonetante por um de seus lados e a uma atmosfera descarbonetante pelo outro lado. A temperatura é de 725^{\circ} \mathrm{C}. Após ter atingido uma condição de estado estacionário, 0 ferro foi rapidamente resfriado à temperatura ambiente. As concentrações de carbono nas duas superfícies da chapa
foram determinadas como sendo de 0,012 e 0,0075 \% p. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo de difusão é de 1,4^{*} \times 10^{-8} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}-\mathrm{s}. Sugestäo: Use a Eq. 4.9 para converter as concentrações de porcentagem em peso para quilogramas de carbono por metro cúbico de ferro.

Passo 1

O enunciado trata de difusão estacionária de carbono através de uma chapa de ferro CCC de espessura L=1\\ \mathrm{mm} ( =0,001\\ \mathrm{m}). De um lado há atmosfera carbonetante com teor de carbono de 0,012\% em massa e, do outro, atmosfera descarbonetante com 0,0075\% em massa. O fluxo de difusão em estado estacionário é dado como
J = 1,4 \times 10^{-8}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}}.
Precisamos aplicar a Lei de Fick para obter o coeficiente de difusão D.

Passo 2

Primeiro convertemos as porcentagens em massa em frações mássicas:
w_{\mathrm{esq}} = \frac{0{,}012}{100} = 1{,}2\times10^{-4}, \quad w_{\mathrm{dir}} = \frac{0{,}0075}{100} = 7{,}5\times10^{-5}.

Passo 3

Em seguida, vamos converter fração mássica em concentração volumétrica de carbono ( \mathrm{kg} de C por \mathrm{m}^3 de ferro). Usamos a densidade do ferro \rho_{\mathrm{Fe}}\approx7874\\ \mathrm{kg/m^3}:
C_{\mathrm{esq}} = w_{\mathrm{esq}}\;\rho_{\mathrm{Fe}} = 1{,}2\times10^{-4}\times 7874 \approx 0{,}945\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},
C_{\mathrm{dir}} = w_{\mathrm{dir}}\;\rho_{\mathrm{Fe}} = 7{,}5\times10^{-5}\times 7874 \approx 0{,}591\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.

Passo 4

Calculamos a diferença de concentração ao longo da espessura:
\Delta C = C_{\mathrm{esq}} - C_{\mathrm{dir}} \approx 0{,}945 - 0{,}591 = 0{,}354\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.

Passo 5

Aplicamos a primeira lei de Fick em regime estacionário com gradiente constante:
J = -D\,\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x} \approx D\,\frac{C_{\mathrm{esq}}-C_{\mathrm{dir}}}{L} = D\,\frac{\Delta C}{L}.
Isolando D, obtemos
D = \frac{J\,L}{\Delta C} = \frac{1{,}4\times10^{-8}\,\mathrm{kg/(m^2\,s)}\;\times\;0{,}001\\ \mathrm{m}} {0{,}354\\ \mathrm{kg/m^3}} \approx 3{,}95\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.

Resposta

D \approx 4,0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.

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