5.14 (a) Considere um par de difusão composto por dois sólidos semi-infinitos do mesmo metal. Cada lado do par de difusão possui uma concentração diferente da mesma impureza elementar; além disso, cada nível de impureza é constante ao longo do seu lado do par de difusão. Resolva a segunda lei de Fick para esta situação de difusão, admitindo que o coeficiente de difusão para a impureza seja independente da concentração, e para as seguintes condições de contorno:
Aqui tomamos a posição
como estando na interface inicial do par de difusão.
Passo 1
O enunciado nos dá um “casal de difusão” feito de dois sólidos semi-infinitos do mesmo metal e com concentrações diferentes de uma impureza em cada lado. Queremos resolver a segunda lei de Fick
sob a condição inicial de degrau
com
constante e independente de
. Para isso, vamos usar a técnica de variável de similaridade.
Passo 2
Definimos a variável de similaridade
Como
e
aparecem sempre na combinação
, a solução
pode ser escrita como função de
:
Então calculamos as derivadas em função de
:
Passo 3
Mostramos rapidamente que
e daí
Substituindo na equação de difusão, obtemos
Passo 4
Para resolver
fazemos
, o que dá
Integramos
e achamos
Podemos incorporar o fator
em
, isto é, escrever
Passo 5
Usamos as condições de contorno no infinito:
Isso dá o sistema
cuja solução é
Passo 6
Voltando a
e
pela definição
, a solução final fica