5.14 (a) Considere um par de difusão composto por dois sólidos semi-infinitos do mesmo metal. Cada lado do par de difusão possui uma concentração diferente da mesma impureza elementar; além disso, cada nível de impureza é constante ao longo do seu lado do par de difusão. Resolva a segunda lei de Fick para esta situação de difusão, admitindo que o coeficiente de difusão para a impureza seja independente da concentração, e para as seguintes condições de contorno:
\begin{aligned} & C=C_{1} \operatorname{para} x<0, \text { e } t=0 \\\ & C=C_{2} \operatorname{para} x>0, \text { e } t=0 \end{aligned}
Aqui tomamos a posição x=0 como estando na interface inicial do par de difusão.

Passo 1

O enunciado nos dá um “casal de difusão” feito de dois sólidos semi-infinitos do mesmo metal e com concentrações diferentes de uma impureza em cada lado. Queremos resolver a segunda lei de Fick
\frac{\partial C}{\partial t} = D \,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}
sob a condição inicial de degrau
C(x,0)= \begin{cases} C_{1},&x<0,\\\ C_{2},&x>0, \end{cases}
com D constante e independente de C. Para isso, vamos usar a técnica de variável de similaridade.

Passo 2

Definimos a variável de similaridade
\eta = \frac{x}{2\sqrt{D\,t}}.
Como x e t aparecem sempre na combinação x/\sqrt{t}, a solução C(x,t) pode ser escrita como função de \eta:
C(x,t)=C(\eta).
Então calculamos as derivadas em função de \eta:
\frac{\partial C}{\partial t} =\frac{dC}{d\eta}\,\frac{\partial \eta}{\partial t} \quad\text{e}\quad \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} =\frac{d^2C}{d\eta^2}\,\Bigl(\frac{\partial \eta}{\partial x}\Bigr)^2.

Passo 3

Mostramos rapidamente que
\frac{\partial \eta}{\partial t}=-\frac{\eta}{2\,t}, \qquad \frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{D\,t}},
e daí
\frac{\partial C}{\partial t} =-\frac{\eta}{2\,t}\,\frac{dC}{d\eta}, \qquad \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} =\frac{1}{4\,D\,t}\,\frac{d^2C}{d\eta^2}.
Substituindo na equação de difusão, obtemos
-\frac{\eta}{2\,t}\,\frac{dC}{d\eta} = D\,\frac{1}{4D\,t}\,\frac{d^2C}{d\eta^2} \;\Longrightarrow\; \frac{d^2C}{d\eta^2}+2\,\eta\,\frac{dC}{d\eta}=0.

Passo 4

Para resolver
\frac{d^2C}{d\eta^2}+2\,\eta\,\frac{dC}{d\eta}=0
fazemos u=dC/d\eta, o que dá
\frac{du}{d\eta}+2\,\eta\,u=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{u}=-2\,\eta\,d\eta \;\Longrightarrow\; u = A\,e^{-\eta^2}.
Integramos dC/d\eta=A\,e^{-\eta^2} e achamos
C(\eta)=A\int_{0}^{\eta}e^{-s^2}ds + B = A\,\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erf}(\eta) + B.
Podemos incorporar o fator \sqrt{\pi}/2 em A, isto é, escrever
C(\eta)=A\,\mathrm{erf}(\eta)+B.

Passo 5

Usamos as condições de contorno no infinito:
\eta\to -\infty\;\Rightarrow\;\mathrm{erf}(\eta)=-1, \quad C\to C_{1}; \qquad \eta\to +\infty\;\Rightarrow\;\mathrm{erf}(\eta)=1, \quad C\to C_{2}.
Isso dá o sistema
B - A = C_{1}, \quad B + A = C_{2},
cuja solução é
A=\frac{C_{2}-C_{1}}{2}, \quad B=\frac{C_{1}+C_{2}}{2}.

Passo 6

Voltando a x e t pela definição \eta=x/(2\sqrt{D\,t}), a solução final fica

Resposta

C(x,t) =\frac{C_{1}+C_{2}}{2} +\frac{C_{2}-C_{1}}{2}\, \mathrm{erf}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\Bigr).

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