Quando a chave de torque gira, as mãos que aplicam as forças F, movem-se 2 mm . O eixo está preso à parede e tem seção quadrada maciça com 30 mm de lados. Módulo de elasticidade transversal do material é de 77 GPa . Determine:
a. (1,0). O torque aplicado na parede;
Resposta:
\_\_\_\_ b. (0,5). A força F aplicada pelas mãos;
Resposta:
\_\_\_\_ c. (0,5). A tensão máxima no eíxo.
Resposta
\_\_\_\_

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também o que está faltando (importante para resolver numericamente).
Dados fornecidos:
  • Quando a chave de torque gira, as mãos que aplicam as forças movem-se s=2\\ \text{mm}.
  • O eixo (haste) é maciço, seção quadrada com lado a=30\\ \text{mm}.
  • Módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) G=77\\ \text{GPa}=77\,000\\ \text{N/mm}^2.
O enunciado pede:
(a) \,(1,0). O torque aplicado na parede;
(b) \,(0,5). A força F aplicada pelas mãos;
(c) \,(0,5). A tensão máxima no eixo.
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para obter números):
  • A distância radial/lever arm entre o eixo (centro) e o ponto onde as mãos aplicam a força — vou chamar essa distância de r (em mm). É o raio efetivo do ponto de aplicação da força.
  • O comprimento do eixo sobre o qual ocorre a torção (distância entre a parede, onde o eixo está preso, e o ponto em que as mãos aplicam a força) — vou chamar esse comprimento de L (em mm).
  • Também não foi especificado se a situação é uma única força F aplicada a uma distância r (momento T=F r) ou duas forças iguais em lados opostos (momento T=2 F r). Isso muda a relação entre T e F.
Conclusão deste passo: não dá para calcular valores numéricos absolutos sem saber r e L (e sem saber se são duas forças formando um par). Vou, portanto, apresentar um método passo a passo, com as fórmulas e cálculos simbólicos e também resultados numéricos simplificados em função de r e L. Se você tiver os valores de r e L (por exemplo, da figura), é só substituir.

Passo 2

Conceitos básicos de torção (aula rápida e intuitiva).
  • Quando um eixo é submetido a um torque T, ele gira um ângulo \varphi (em radianos) ao longo do comprimento L. Para uma barra de material linear elástico submetida à torção uniforme, vale a fórmula de ângulo de torção:
\varphi=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \varphi é o ângulo de torção (rad);
  • T é o torque aplicado (N·mm);
  • L é o comprimento sobre o qual ocorre a torção (mm);
  • G é o módulo de cisalhamento (N/mm^2);
  • J é a constante de torção (ou “constante de Saint-Venant”) do perfil (mm^4).
  • A relação entre o deslocamento tangencial s de um ponto que está a uma distância radial r do centro e o ângulo de torção é:
s = r\,\varphi.
Isto é, um pequeno giro \varphi produz um arco (aproximado) r\varphi.
  • Combinando as duas fórmulas obtemos:
s = r\frac{T\,L}{G\,J}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{G\,J\,s}{r\,L}.
Isso já é crucial: o torque necessário para provocar deslocamento s depende de G, da constante de torção J, do deslocamento s, da posição radial r e do comprimento L.
Explicando variáveis como se estivesse na prova: sempre verificar unidades (usar mm para comprimentos e N/mm^2 para G para resultar em T em N·mm).

Passo 3

Constante de torção J para seção quadrada maciça (30 mm × 30 mm).
  • Para seções não circulares usa-se a constante de torsão J. Para uma seção quadrada maciça de lado a a fórmula prática (aproximação muito usada em exercícios e livros de resistência dos materiais) é:
J \approx 0{,}1406\,a^{4}.
Aqui a em mm e J em mm^4. (Essa constante resultante vem da solução de Saint-Venant para seções retangulares; para quadrado o coeficiente numérico é aproximadamente 0{,}1406.)
  • Substituindo a=30\\ \text{mm}:
a^{4}=30^{4}=810\,000\\ \text{mm}^4,
J \approx 0{,}1406\times810\,000 = 113\,886\\ \text{mm}^4\quad(\text{aprox.}).
Vou usar J=113\,886\\ \text{mm}^4 nas contas seguintes.

Passo 4

Expressão do torque T em função de r e L, com substituição numérica parcial.
  • Da fórmula do Passo 2:
T=\frac{G\,J\,s}{r\,L}.
Substituindo G=77\,000\\ \text{N/mm}^2, J=113\,886\\ \text{mm}^4 e s=2\\ \text{mm}:
T=\frac{77\,000\times113\,886\times2}{r\,L}\\ \text{N·mm}.
Cálculo do numerador:
77\,000\times113\,886\times2 = 17\,538\,444\,000.
Logo
T=\frac{17\,538\,444\,000}{r\,L}\\ \text{N·mm}.
Se preferir em N·m (dividindo por 1000):
T=\frac{17\,538\,444}{r\,L}\\ \text{N·m},
onde r e L estão em mm. (Na prova deixe claro as unidades usadas.)
Observação didática: você vê que sem r e L não dá para obter um número. Se for dada a distância do ponto de aplicação da força até o centro (por exemplo r=250\\ \text{mm}) e o comprimento do eixo L (por exemplo L=200\\ \text{mm}), basta substituir.

Passo 5

Como obter a força F aplicada pelas mãos a partir do torque T.
  • Relação entre T e F depende da configuração:
    1. Se uma única força F aplicada tangencialmente a uma distância r do centro produz o torque, então
    T=F\,r \quad\Rightarrow\quad F=\frac{T}{r}.
    1. Se são duas forças iguais F aplicadas em lados opostos formando um par (configuração comum: duas mãos em lados opostos do cabo), então o momento resultante é T=2F r (porque cada força cria momento F r em mesmo sentido), logo
    F=\frac{T}{2r}.
  • Substituindo a expressão de T=\dfrac{GJ s}{rL} obtemos as fórmulas em função de r e L:
    • Caso 1 (uma força):
    F=\frac{T}{r}=\frac{G\,J\,s}{r^{2}L}.
    • Caso 2 (duas forças opostas):
    F=\frac{T}{2r}=\frac{G\,J\,s}{2\,r^{2}L}.
  • Substituindo os números (novamente G=77\,000,\\ J=113\,886,\\ s=2):
    • Caso 1:
    F=\frac{17\,538\,444\,000}{r^{2}L}\\ \text{N}.
    • Caso 2:
    F=\frac{8\,769\,222\,000}{r^{2}L}\\ \text{N}.
Explicação prática: sempre identificar na figura se as mãos estão aplicando um par de forças ou apenas uma força tangencial. Na prova, desenhe o diagrama de corpo livre e escreva T=F r ou T=2 F r conforme o caso.

Passo 6

Tensão máxima no eixo (tensão de cisalhamento máxima) e expressão final.
  • Para torção, a tensão de cisalhamento em uma seção transversal não circular tem distribuição complexa, mas a fórmula útil para obter o valor máximo em seções retangulares/quadradas, em termos de T e J, é análoga à circular:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é a distância do centro até o ponto mais afastado (para quadrado a máxima tensão por torsão ocorre no ponto médio da face e a distância do centro até o ponto médio da face é c=\dfrac{a}{2}). Assim, para o quadrado:
\tau_{\max}=\frac{T\,\dfrac{a}{2}}{J}=\frac{T a}{2J}.
  • Substituindo T=\dfrac{G J s}{r L} nesta expressão observamos que J cancela:
\tau_{\max}=\frac{(G J s)\,a}{2J\,r L}=\frac{G\,s\,a}{2\,r\,L}.
Isto é interessante e útil: para seção quadrada maciça a tensão máxima pode ser expressa sem precisar do valor numérico de J.
  • Substituindo G=77\,000\\ \text{N/mm}^2, s=2\\ \text{mm}, a=30\\ \text{mm}:
\tau_{\max}=\frac{77\,000\times2\times30}{2\,r\,L}=\frac{2\,310\,000}{r\,L}\\ \text{N/mm}^2.
Como 1\\ \text{N/mm}^2=1\\ \text{MPa}, pode-se também escrever:
\tau_{\max}=\frac{2\,310\,000}{r\,L}\\ \text{MPa},
com r e L em mm.
Interpretação: novamente é necessária a informação sobre r e L para obter um número. A vantagem é que a expressão é simples e direta na prova.

Passo 7

Resumo do procedimento de resolução e indicação do que fazer na prova.
  • Passos que você deve seguir na prova quando a figura estiver disponível:
    1. Ler a figura e identificar r (distância do centro até o ponto de aplicação das forças — geralmente o comprimento do cabo ou a distância do eixo ao ponto onde as mãos seguram) e L (comprimento do eixo que está sendo torcido, da parede até onde a força é aplicada).
    2. Calcular J para a seção (usei J\approx0{,}1406\,a^{4} para quadrado).
    3. Calcular T=\dfrac{GJ s}{rL}.
    4. Relacionar T com F via T=F r (uma força) ou T=2 F r (duas forças opostas) conforme o caso.
    5. Calcular \tau_{\max}=\dfrac{T a}{2J} (ou usar a forma simplificada \tau_{\max}=\dfrac{G s a}{2 r L}).
  • Se você me der os valores de r e L (ou se estiverem na figura), eu plugo e calculo os números imediatamente. Até lá, as expressões que forneci são a resposta completa e aplicável.

Resposta

(a) \displaystyle T=\frac{G\,J\,s}{r\,L}=\frac{17\,538\,444\,000}{r\,L}\\ \text{N·mm}=\frac{17\,538\,444}{r\,L}\\ \text{N·m} (com r,L em mm).
(b) Caso uma única força tangencial: \displaystyle F=\frac{T}{r}=\frac{17\,538\,444\,000}{r^{2}L}\\ \text{N}.
Caso duas forças iguais em lados opostos (par de forças): \displaystyle F=\frac{T}{2r}=\frac{8\,769\,222\,000}{r^{2}L}\\ \text{N}.
(c) \displaystyle \tau_{\max}=\frac{T\,a}{2J}=\frac{G\,s\,a}{2\,r\,L}=\frac{2\,310\,000}{r\,L}\\ \text{N/mm}^2\\ (=\,\text{MPa}).

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