Quando a chave de torque gira, as mãos que aplicam as forças F, movem-se 2 mm . O eixo está preso à parede e tem seção quadrada maciça com 30 mm de lados. Módulo de elasticidade transversal do material é de 77 GPa . Determine:
a.
. O torque aplicado na parede;
Resposta:
b.
. A força F aplicada pelas mãos;
Resposta:
c.
. A tensão máxima no eíxo.
Resposta
a.
Resposta:
Resposta:
Resposta
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e também o que está faltando (importante para resolver numericamente).
Dados fornecidos:
- Quando a chave de torque gira, as mãos que aplicam as forças movem-se
. - O eixo (haste) é maciço, seção quadrada com lado
. - Módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento)
.
O enunciado pede:
(a) . O torque aplicado na parede;
(b) . A força
aplicada pelas mãos;
(c) . A tensão máxima no eixo.
(a)
(b)
(c)
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para obter números):
- A distância radial/lever arm entre o eixo (centro) e o ponto onde as mãos aplicam a força — vou chamar essa distância de
(em mm). É o raio efetivo do ponto de aplicação da força. - O comprimento do eixo sobre o qual ocorre a torção (distância entre a parede, onde o eixo está preso, e o ponto em que as mãos aplicam a força) — vou chamar esse comprimento de
(em mm). - Também não foi especificado se a situação é uma única força
aplicada a uma distância (momento ) ou duas forças iguais em lados opostos (momento ). Isso muda a relação entre e .
Conclusão deste passo: não dá para calcular valores numéricos absolutos sem saber
e
(e sem saber se são duas forças formando um par). Vou, portanto, apresentar um método passo a passo, com as fórmulas e cálculos simbólicos e também resultados numéricos simplificados em função de
e
. Se você tiver os valores de
e
(por exemplo, da figura), é só substituir.
Passo 2
Conceitos básicos de torção (aula rápida e intuitiva).
- Quando um eixo é submetido a um torque
, ele gira um ângulo (em radianos) ao longo do comprimento . Para uma barra de material linear elástico submetida à torção uniforme, vale a fórmula de ângulo de torção:
onde:
-
é o ângulo de torção (rad); -
é o torque aplicado (N·mm); -
é o comprimento sobre o qual ocorre a torção (mm); -
é o módulo de cisalhamento (N/mm^2); -
é a constante de torção (ou “constante de Saint-Venant”) do perfil (mm^4). -
A relação entre o deslocamento tangencial
de um ponto que está a uma distância radial do centro e o ângulo de torção é:
Isto é, um pequeno giro
produz um arco (aproximado)
.
- Combinando as duas fórmulas obtemos:
Isso já é crucial: o torque necessário para provocar deslocamento
depende de
, da constante de torção
, do deslocamento
, da posição radial
e do comprimento
.
Explicando variáveis como se estivesse na prova: sempre verificar unidades (usar mm para comprimentos e N/mm^2 para
para resultar em
em N·mm).
Passo 3
Constante de torção
para seção quadrada maciça (30 mm × 30 mm).
- Para seções não circulares usa-se a constante de torsão
. Para uma seção quadrada maciça de lado a fórmula prática (aproximação muito usada em exercícios e livros de resistência dos materiais) é:
Aqui
em mm e
em mm^4. (Essa constante resultante vem da solução de Saint-Venant para seções retangulares; para quadrado o coeficiente numérico é aproximadamente
.)
- Substituindo
:
Vou usar
nas contas seguintes.
Passo 4
Expressão do torque
em função de
e
, com substituição numérica parcial.
- Da fórmula do Passo 2:
Substituindo
,
e
:
Cálculo do numerador:
Logo
Se preferir em N·m (dividindo por
):
onde
e
estão em mm. (Na prova deixe claro as unidades usadas.)
Observação didática: você vê que sem
e
não dá para obter um número. Se for dada a distância do ponto de aplicação da força até o centro (por exemplo
) e o comprimento do eixo
(por exemplo
), basta substituir.
Passo 5
Como obter a força
aplicada pelas mãos a partir do torque
.
-
Relação entre
e depende da configuração: - Se uma única força
aplicada tangencialmente a uma distância do centro produz o torque, então
- Se são duas forças iguais
aplicadas em lados opostos formando um par (configuração comum: duas mãos em lados opostos do cabo), então o momento resultante é (porque cada força cria momento em mesmo sentido), logo
- Se uma única força
-
Substituindo a expressão de
obtemos as fórmulas em função de e : - Caso 1 (uma força):
- Caso 2 (duas forças opostas):
-
Substituindo os números (novamente
): - Caso 1:
- Caso 2:
Explicação prática: sempre identificar na figura se as mãos estão aplicando um par de forças ou apenas uma força tangencial. Na prova, desenhe o diagrama de corpo livre e escreva
ou
conforme o caso.
Passo 6
Tensão máxima no eixo (tensão de cisalhamento máxima) e expressão final.
- Para torção, a tensão de cisalhamento em uma seção transversal não circular tem distribuição complexa, mas a fórmula útil para obter o valor máximo em seções retangulares/quadradas, em termos de
e , é análoga à circular:
onde
é a distância do centro até o ponto mais afastado (para quadrado a máxima tensão por torsão ocorre no ponto médio da face e a distância do centro até o ponto médio da face é
). Assim, para o quadrado:
- Substituindo
nesta expressão observamos que cancela:
Isto é interessante e útil: para seção quadrada maciça a tensão máxima pode ser expressa sem precisar do valor numérico de
.
- Substituindo
, , :
Como
, pode-se também escrever:
com
e
em mm.
Interpretação: novamente é necessária a informação sobre
e
para obter um número. A vantagem é que a expressão é simples e direta na prova.
Passo 7
Resumo do procedimento de resolução e indicação do que fazer na prova.
-
Passos que você deve seguir na prova quando a figura estiver disponível:
- Ler a figura e identificar
(distância do centro até o ponto de aplicação das forças — geralmente o comprimento do cabo ou a distância do eixo ao ponto onde as mãos seguram) e (comprimento do eixo que está sendo torcido, da parede até onde a força é aplicada). - Calcular
para a seção (usei para quadrado). - Calcular
. - Relacionar
com via (uma força) ou (duas forças opostas) conforme o caso. - Calcular
(ou usar a forma simplificada ).
- Ler a figura e identificar
-
Se você me der os valores de
e (ou se estiverem na figura), eu plugo e calculo os números imediatamente. Até lá, as expressões que forneci são a resposta completa e aplicável.
Resposta
(a)
(com
em mm).
(b) Caso uma única força tangencial:
Caso duas forças iguais em lados opostos (par de forças):
(c)
(b) Caso uma única força tangencial:
Caso duas forças iguais em lados opostos (par de forças):
(c)