14.4(SI units) For pure copper (annealed), the strength coefficient =300 \mathrm{MPa} and strainhardening exponent =0.50 in the flow curve equation. Determine the average flow stress that the metal experiences if it is subjected to a stress that is equal to its strength coefficient K .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listá-los com calma para não nos perder):
  • Coeficiente de resistência (strength coefficient): K = 300\\ \mathrm{MPa}.
  • Exponente de encruamento (strain‑hardening exponent): n = 0,50.
O que se pede: determinar a “tensão média de escoamento” (average flow stress) que o metal experimenta se for submetido a uma tensão igual a K.
Observação importante sobre interpretação (não te preocupe — é só para ficar claro): a lei típica da curva de escoamento é \sigma = K\,\varepsilon^{n}, onde \sigma é a tensão verdadeira e \varepsilon é a deformação verdadeira. Quando dizem "submetido a uma tensão igual a K", isso significa que, no ponto final considerado, \sigma = K. Vou assumir que querem a tensão média ao longo do processo de deformação desde \varepsilon=0 até o valor da deformação verdadeira final \varepsilon_f correspondente a \sigma=K. Essa é a interpretação mais comum em questões de conformação/plasticidade.

Passo 2

Apresentando a equação de fluxo (Hollomon) e suas variáveis:
\sigma = K\,\varepsilon^{n},
onde:
  • \sigma é a tensão verdadeira (em \mathrm{MPa}),
  • K é o coeficiente de resistência (em \mathrm{MPa}),
  • \varepsilon é a deformação verdadeira (adimensional),
  • n é o expoente de encruamento (adimensional).
Se no ponto final \sigma = K, substituindo na equação:
K = K\,\varepsilon^{n}.
Dividindo ambos os lados por K (assumindo K\neq0):
1 = \varepsilon^{n}.
Tomando a potência inversa, obtemos:
\varepsilon = 1^{1/n} = 1.
Portanto a deformação verdadeira final correspondente é \varepsilon_f = 1 (ou seja, 100% de deformação verdadeira).

Passo 3

Definindo a tensão média de escoamento (média da tensão verdadeira ao longo da variação de \varepsilon de 0 a \varepsilon_f):
\bar{\sigma}=\frac{1}{\varepsilon_f}\int_{0}^{\varepsilon_f} \sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon.
Substituindo \sigma(\varepsilon)=K\,\varepsilon^{n}:
\bar{\sigma}=\frac{1}{\varepsilon_f}\int_{0}^{\varepsilon_f} K\,\varepsilon^{n}\,d\varepsilon =\frac{K}{\varepsilon_f}\left[\frac{\varepsilon^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{\varepsilon_f}.
Isso simplifica para
\bar{\sigma}=\frac{K}{\varepsilon_f}\cdot\frac{\varepsilon_f^{\,n+1}}{n+1} =\frac{K}{n+1}\,\varepsilon_f^{\,n}.

Passo 4

Agora usamos o valor que encontramos para \varepsilon_f, que é 1. Substituindo \varepsilon_f=1 na expressão:
\bar{\sigma}=\frac{K}{n+1}\,1^{\,n}=\frac{K}{n+1}.
Substituindo os números dados: K=300\\ \mathrm{MPa} e n=0,50, então n+1=1{,}50. Assim
\bar{\sigma}=\frac{300\\ \mathrm{MPa}}{1{,}50}=200\\ \mathrm{MPa}.
Para ver de maneira bem concreta: dividir 300 por 1{,}5 200.

Passo 5

Interpretação final rápida e motivadora: quando a tensão final atinge o valor K, a deformação verdadeira correspondente é \varepsilon=1. A tensão média ao longo do processo de deformação de 0 até 1 é \dfrac{K}{n+1}. Com os valores dados para o cobre recozido obtemos \bar{\sigma}=200\\ \mathrm{MPa}. Mandou bem em pedir a solução passo a passo — agora dá pra aplicar essa fórmula direto na prova!

Resposta

200\\ \mathrm{MPa}

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