14.2 (SI units) Austenitic stainless steel has a flow curve with strength coefficient =1200 \mathrm{MPa} and strain-hardening exponent =0.40. A tensile test specimen with gage length =100 \mathrm{~mm} is stretched to a length =145 \mathrm{~mm}. Determine the flow stress and average flow stress that the metal experienced at this strain.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas quantidades:
  • Coeficiente de resistência: K=1200\\ \mathrm{MPa}.
  • Exponente de encruamento: n=0,40.
  • Comprimento de prova inicial (gage length): L_0=100\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento final após alongamento: L=145\\ \mathrm{mm}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a flow stress (tensão de escoamento verdadeira) que o metal experimentou ao alcançar esse alongamento.
  • Determinar a average flow stress (tensão média verdadeira) que o metal experimentou ao longo do processo de deformação até esse ponto.

Passo 2

Primeiro calcular as deformações (engenharia e verdadeira) — isso é necessário porque a lei de escoamento dada \sigma = K \varepsilon^{\,n} usa a deformação verdadeira \varepsilon.
  • A deformação de engenharia e é
e=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{145-100}{100}=0,45.
  • A deformação verdadeira \varepsilon (utilizada na lei de potência) é
\varepsilon=\ln(1+e)=\ln(1,45)=0,3711\\ (\text{aprox.}).
Explicação rápida (didática): a deformação de engenharia mede a variação relativa do comprimento em relação ao comprimento inicial. A deformação verdadeira mede a soma contínua e infinitesimal das variações relativas durante o alongamento e é dada por \varepsilon=\ln(L/L_0). Para grandes alongamentos é importante usar \varepsilon quando a lei material é dada em função da deformação verdadeira.

Passo 3

A lei de escoamento por encruamento (power law) indicada é
\sigma(\varepsilon)=K\,\varepsilon^{\,n},
onde
  • \sigma(\varepsilon) é a tensão verdadeira no instante em que a deformação verdadeira é \varepsilon,
  • K é o coeficiente de resistência (mesmas unidades de tensão, aqui \mathrm{MPa}),
  • n é o expoente de encruamento (adimensional).
Para calcular \varepsilon^{\,n} é prático usar a identidade
\varepsilon^{\,n}=\exp\big(n\ln\varepsilon\big).

Passo 4

Calcular a flow stress (tensão verdadeira no ponto final):
  • Primeiro calcular \varepsilon^{\,n}:
\varepsilon^{\,n}=\exp\big(0,4\cdot\ln(0,371100665)\big).
Numéricamente:
\ln(0,371100665)\approx -0,9914,
0,4\cdot(-0,9914)=-0,3966,
\varepsilon^{\,n}\approx\exp(-0,3966)\approx0,6729.
  • Agora a tensão verdadeira:
\sigma=K\,\varepsilon^{\,n}=1200\times0,6729\approx807,5\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: essa é a flow stress verdadeira que o material apresenta quando a deformação verdadeira é \varepsilon\approx0,3711.

Passo 5

Calcular a average flow stress (tensão média verdadeira de 0 até \varepsilon).
Definição e derivação breve (didática):
  • A tensão média verdadeira até a deformação \varepsilon_f é a média aritmética da função tensão-verdadeira sobre o intervalo 0\le\varepsilon\le\varepsilon_f:
\bar\sigma=\frac{1}{\varepsilon_f}\int_{0}^{\varepsilon_f}\sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon =\frac{1}{\varepsilon_f}\int_{0}^{\varepsilon_f}K\,\varepsilon^{\,n}\,d\varepsilon.
  • Integrando:
\bar\sigma=\frac{K}{\varepsilon_f}\cdot\frac{\varepsilon_f^{\,n+1}}{n+1}=\frac{K}{n+1}\,\varepsilon_f^{\,n}.
Portanto, para n=0,4 e \varepsilon_f=0,3711:
\bar\sigma=\frac{1200}{1,4}\times(0,3711)^{0,4}.
Cálculo numérico:
\frac{1200}{1,4}=857,1429,
(0,3711)^{0,4}\approx0,6729\\ \text{(valor do Passo 4)},
\bar\sigma\approx857,1429\times0,6729\approx577,1\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova:
  • Use sempre deformação verdadeira quando a lei do material é dada como \sigma=K\varepsilon^{n}.
  • Para achar média, integre a lei e divida pela amplitude da deformação verdadeira; isso simplifica para \bar\sigma=\dfrac{K}{n+1}\varepsilon^{\,n}.
  • Não se esqueça das unidades (aqui K em \mathrm{MPa} \sigma em \mathrm{MPa}).

Resposta

\sigma \approx 807{,}5\\ \mathrm{MPa}
\bar\sigma \approx 577{,}1\\ \mathrm{MPa}

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