\checkmark 4.4L Considere f(x)=2-x, 0<x<2, e determine uma função g(x) cuja série de senos convirja para f(x) em todos os valores de x. A função g é única?

Passo 1

O enunciado pede a série de senos que represente a função
f(x)=2 - x,\quad 0 < x < 2,
ou seja, um desenvolvimento em série de Fourier só com termos de \sin, o que equivale a estender f como uma função ímpar de período 2L=4. Para isso precisamos (1) usar a fórmula dos coeficientes de seno em [0,L] com L=2, (2) calcular esses coeficientes, (3) escrever a série e (4) identificar a função periódica g(x) que ela define para todo x.

Passo 2

Em geral, a série de senos de uma função f em [0,L] é
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
com
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Aqui L=2, logo
b_n=\int_{0}^{2}(2-x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Faremos essa integral em dois termos:
I_1=2\int_{0}^{2}\sin(kx)\,dx,\quad I_2=\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx,
onde definimos k=\tfrac{n\pi}{2}.

Passo 3

Calculemos I_1 e I_2:
I_1 =2\bigl[-\tfrac{1}{k}\cos(kx)\bigr]_{0}^{2} =-\frac{2}{k}\bigl(\cos(2k)-1\bigr) =\frac{2}{k}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr) =\frac{2}{k}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Para I_2, por partes u=x, dv=\sin(kx)dx:
I_2 =\Bigl[-\tfrac{x}{k}\cos(kx)\Bigr]_{0}^{2} +\frac{1}{k}\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx =-\frac{2\cos(2k)}{k} +\frac{1}{k}\Bigl[\tfrac{\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{2} =-\frac{2(-1)^n}{k}.
Então
b_n=I_1-I_2 =\frac{2}{k}\bigl(1-(-1)^n\bigr)+\frac{2(-1)^n}{k} =\frac{2}{k} =\frac{2}{(n\pi/2)} =\frac{4}{n\pi}.

Passo 4

A série de senos fica
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).
Sabemos que essa série converge para a extensão ímpar de f\) com período \(4\). Portanto, explicitamente, seja \(g\) definida por \[g(x+4)=g(x),
g(x)= \begin{cases} 2-x,&0<x<2,\\\\ -\bigl(2+x\bigr),&-2<x<0, \end{cases}
e nos pontos x=k\cdot2\] (com \(k\in\mathbb{Z}) a série converge ao valor médio dos limites laterais.

Passo 5

Concluímos que a série de senos dada converge para f(x)=2-x em 0<x<2 e define em todo \mathbb{R} a função g que é o prolongamento ímpar e periódico de f. Nos pontos de descontinuidade (como x=0,2,\dots) ela toma o valor médio das bordas, conforme a teoria de Fourier.

Resposta

g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
que coincide com a extensão ímpar de período 4 de f(x)=2-x em (0,2).
A função g é única a não ser em um conjunto de pontos de descontinuidade, onde podemos alterar o valor sem afetar a série.

Exercícios relacionados