\checkmark 4.4L Considere f(x)=2-x, 0<x<2, e determine uma função g(x) cuja série de senos convirja para f(x) em todos os valores de x. A função g é única?
Passo 1
O enunciado pede a série de senos que represente a função
f(x)=2 - x,\quad 0 < x < 2,
ou seja, um desenvolvimento em série de Fourier só com termos de \sin, o que equivale a estender f como uma função ímpar de período 2L=4. Para isso precisamos (1) usar a fórmula dos coeficientes de seno em [0,L] com L=2, (2) calcular esses coeficientes, (3) escrever a série e (4) identificar a função periódica g(x) que ela define para todo x.
Passo 2
Em geral, a série de senos de uma função f em [0,L] é
e nos pontos x=k\cdot2\] (com \(k\in\mathbb{Z}) a série converge ao valor médio dos limites laterais.
Passo 5
Concluímos que a série de senos dada converge para f(x)=2-x em 0<x<2 e define em todo \mathbb{R} a função g que é o prolongamento ímpar e periódico de f. Nos pontos de descontinuidade (como x=0,2,\dots) ela toma o valor médio das bordas, conforme a teoria de Fourier.
que coincide com a extensão ímpar de período 4 de f(x)=2-x em (0,2).
A função g é única a não ser em um conjunto de pontos de descontinuidade, onde podemos alterar o valor sem afetar a série.