4.4N Considere a função
, e esboce no intervalo [
] o gráfico da extensão ímpar
-periódica de
. Qual a série de Fourier dessa extensão? Com a ajuda da série de Fourier encontrada, calcule a soma infinita
.
Passo 1
O enunciado define a função
em
e pede para estender de forma ímpar e
-periódica, esboçar esse gráfico em
, obter a série de Fourier dessa extensão e, por fim, usar a série para calcular
.
O conteúdo principal é série de Fourier de funções ímpares (apenas senos), e depois aplicação em um ponto específico para extrair uma soma de série numérica.
e pede para estender
O conteúdo principal é série de Fourier de funções ímpares (apenas senos), e depois aplicação em um ponto específico para extrair uma soma de série numérica.
Passo 2
Como a extensão é ímpar e de período
repetindo-se para
alterna um arco de parábola virado para cima em cada cópia de
e virado para baixo em cada cópia de
, deslocado de
em
.
Passo 3
Para uma função ímpar de período
, a série de Fourier só tem termos em seno:
onde
Fazendo duas integrações por partes em
,
chega-se ao resultado
chega-se ao resultado
Logo
Passo 4
Portanto a série de Fourier da extensão ímpar
-periódica é
Passo 5
Para calcular
,
avaliamos a série no ponto . Como
e anula os
pares, resta-se uma soma sobre índices ímpares que, usando a soma conhecida
,
leva à equação
avaliamos a série no ponto
e
leva à equação
Dessa forma obtém-se
.
Como na soma do enunciado o sinal é , temos
Como na soma do enunciado o sinal é
Resposta
Série de Fourier:
Soma da série numérica: