\checkmark 4.4N Considere a função f(x)=x^{2},-\pi \leq x \leq 0, e esboce no intervalo [ -2 \pi, 3 \pi ] o gráfico da extensão ímpar 2 \pi-periódica de f. Qual a série de Fourier dessa extensão? Com a ajuda da série de Fourier encontrada, calcule a soma infinita \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n-1)^{3}}.

Passo 1

O enunciado define a função \displaystyle f(x)=x^{2} em -\pi\le x\le0
e pede para estender f de forma ímpar e 2\pi-periódica, esboçar esse gráfico em [-2\pi,3\pi], obter a série de Fourier dessa extensão e, por fim, usar a série para calcular \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}}.
O conteúdo principal é série de Fourier de funções ímpares (apenas senos), e depois aplicação em um ponto específico para extrair uma soma de série numérica.

Passo 2

Como a extensão é ímpar e de período 2\pi\), em cada intervalo de comprimento \(2\pi\) temos \[f(x)= \begin{cases} x^{2},& -\pi\le x\le0,\\\\ -\,x^{2},& 0\le x\le\pi, \end{cases}
repetindo-se para [-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi]\]. No eixo, o gráfico em \([-2\pi,3\pi] alterna um arco de parábola virado para cima em cada cópia de [-\,\pi,0] e virado para baixo em cada cópia de [0,\pi], deslocado de 2\pi em 2\pi.

Passo 3

Para uma função ímpar de período 2\pi, a série de Fourier só tem termos em seno:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(nx),
onde
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}(-x^{2})\sin(nx)\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx.
Fazendo duas integrações por partes em \displaystyle I=\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx,
chega-se ao resultado
\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx =(-1)^{n}\Bigl(-\frac{\pi^{2}}{n}+\frac{2}{n^{3}}\Bigr)-\frac{2}{n^{3}}.
Logo
b_{n} =-\frac{2}{\pi}\,I =2\pi\frac{(-1)^{n}}{n} -\frac{4}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{3}}.

Passo 4

Portanto a série de Fourier da extensão ímpar 2\pi-periódica é
\boxed{% f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n} -\frac{4}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx). }

Passo 5

Para calcular \displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}},
avaliamos a série no ponto x=\tfrac{\pi}{2}. Como \displaystyle f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}=-\frac{\pi^{2}}{4}
e \sin(n\pi/2) anula os n pares, resta-se uma soma sobre índices ímpares que, usando a soma conhecida \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}/(2k-1)=\pi/4,
leva à equação
-\frac{\pi^{2}}{4} =-2\pi\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^{3}}.
Dessa forma obtém-se \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}.
Como na soma do enunciado o sinal é (-1)^{n}, temos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}} =-\frac{\pi^{3}}{32}.

Resposta

Série de Fourier:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n} -\frac{4}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{3}}\Bigr)\sin(nx).
Soma da série numérica:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}} =-\frac{\pi^{3}}{32}.

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