O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). O que você diria a ele?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: você tem a roda catarina de um relógio que faz Movimento Harmônico Simples angular (MHS angular) com frequência determinada pela mola (constante de torção ) e pelo momento de inércia da roda. Agora o chefe quer reduzir todas as dimensões da roda a um terço ( ) pra economizar material, mantendo a mesma densidade do metal e a mesma mola (mesmo ). A pergunta é: como muda a frequência do MHS angular?
Conteúdo usado:
  • MHS angular com mola de torção: .
  • Como massa e momento de inércia escalam quando você reduz todas as dimensões.

Passo 2

Primeiro, massa e volume. Como a densidade Vrm novo = l(tfrac13r)^3 V = tfrac127,V não muda, a massa é mrm novo = rho,Vrm novo = tfrac127,m . Se cada comprimento vira , o volume cai para
Logo

Passo 3

Agora o momento de inércia. Num formato genérico, Irm novo = mrm novo,l(tfrac13Rr)^2 = l(tfrac127mr),l(tfrac19R^2r) = tfrac1243,m,R^2 = tfrac1243,I . Se vira , então

Passo 4

Com omegarm novo = raizkIrm novo = raizkI/243 = raiz243,raizkI = raiz243,omega igual e reduzido a , a nova pulsação é
E como , a pulsação (e, portanto, a frequência) fica cerca de 15,6 vezes maior.

Resposta

A frequência do MHS angular aumenta por um fator de
9raiz3approx15,6,
ou seja, fica aproximadamente 15,6 vezes maior.

Exercícios relacionados