O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). O que você diria a ele?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: você tem a roda catarina de um relógio que faz Movimento Harmônico Simples angular (MHS angular) com frequência determinada pela mola (constante de torção
) e pelo momento de inércia
da roda. Agora o chefe quer reduzir todas as dimensões da roda a um terço (
) pra economizar material, mantendo a mesma densidade do metal e a mesma mola (mesmo
). A pergunta é: como muda a frequência do MHS angular?
Conteúdo usado:
Conteúdo usado:
- MHS angular com mola de torção:
. - Como massa e momento de inércia escalam quando você reduz todas as dimensões.
Passo 2
Primeiro, massa e volume. Como a densidade
não muda, a massa é
. Se cada comprimento vira
, o volume cai para
Logo
Passo 3
Agora o momento de inércia. Num formato genérico,
. Se
vira
, então
Passo 4
Com
igual e
reduzido a
, a nova pulsação é
E como
, a pulsação (e, portanto, a frequência) fica cerca de 15,6 vezes maior.
Resposta
A frequência do MHS angular aumenta por um fator de
ou seja, fica aproximadamente 15,6 vezes maior.