Considere uma barra submetida à compressão ( \mathrm{F}=200 \mathrm{kN} ) com S.T. quadrada de \mathrm{b} \times \mathrm{b}. A barra é constituída de duas peças de mesmo material, porém conectadas por uma junta colada ao longo do plano \boldsymbol{p q} a 40^{\circ} com a horizontal. Para os dados indicados, pede-se: a) dimensione a S.T. adotando valores inteiros em cm; b) o ângulo \theta para que a intensidade da solicitação na junta seja sempre a mesma. Dados: \bar{\sigma}_{m}=100 \mathrm{MPa} ; \bar{\tau}_{m}=65 \mathrm{MPa} ; \bar{\sigma}_{j}=75 \mathrm{MPa}; \bar{\tau}_{j}=40 \mathrm{MPa}. [Resposta: a) b = 5 cm; b) 45으].

Passo 1

O enunciado dá uma barra com seção transversal quadrada b\times b submetida a uma força compressiva vertical \mathrm{F}=200\\ \mathrm{kN}. A barra é formada por duas peças unidas por uma junta colada ao longo do plano pq, que forma 40^\circ com a horizontal. Os dados de resistência são:
\bar{\sigma}_{m}=100\\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\tau}_{m}=65\\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\sigma}_{j}=75\\ \mathrm{MPa},\quad \bar{\tau}_{j}=40\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede:
a) dimensionar a aresta b da seção quadrada, adotando valores inteiros em cm;
b) determinar o ângulo \theta para que a intensidade da solicitação na junta seja “sempre a mesma” (interpreto isto como o ângulo em que as componentes normal e de cisalhamento na junta têm a mesma intensidade).

Passo 2

Ferramenta necessária (explicada passo a passo): quando um corpo está sob uma tensão uniaxial vertical (aqui apenas tensão axial de compressão uniforme \sigma na barra), a tensão normal e a tensão de cisalhamento em um plano inclinado podem ser obtidas por transformação de tensões. Se chamarmos \varphi o ângulo que o plano faz com a horizontal (como no enunciado, \varphi=40^\circ para a junta), então, tomando a tensão axial vertical como \sigma (positiva em tração; aqui será compressiva com sinal oposto), as componentes sobre o plano são:
\sigma_n = \sigma\cos^2\varphi,
\tau = \sigma\sin\varphi\cos\varphi.
Breve derivação (intuição): escrevemos o vetor normal unitário do plano e aplicamos \sigma_n = n_i\sigma_{ij}n_j com \sigma_{ij} tendo apenas o componente vertical \sigma; isso conduz às expressões acima. Aqui:
  • \sigma é a tensão axial média na seção, \sigma = \dfrac{F}{A} com A=b^2;
  • \sigma_n é a componente normal (neste caso compressiva se \sigma é compressão);
  • \tau é a componente de cisalhamento sobre o plano.\n
    Observação prática: as fórmulas mostram que \tau = \dfrac{\sigma}{2}\sin(2\varphi) e que o módulo resultante da tração sobre o plano é |\sigma|\cos\varphi (verificação algebraica possível mais abaixo).

Passo 3

Cálculo da área mínima exigida pela resistência do material à tensão normal axial. Usamos o critério simples que a tensão média axial não pode exceder \bar{\sigma}_m:
A_{\min}=\dfrac{F}{\bar{\sigma}_m}.
Converter unidades e calcular:
F=200\\ \mathrm{kN}=200000\\ \mathrm{N},\qquad \bar{\sigma}_m=100\\ \mathrm{MPa}=100\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^2}.
A_{\min}=\dfrac{200000}{100\times10^{6}}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Converter para \mathrm{cm}^2 ( 1\\ \mathrm{m^2}=10^{4}\\ \mathrm{cm^2}):
A_{\min}=2{,}0\times10^{-3}\times10^{4}=20\\ \mathrm{cm^2}.

Passo 4

Obter b a partir de A=b^2:
b=\sqrt{A_{\min}}=\sqrt{20}\\ \mathrm{cm}\approx 4{,}472\\ \mathrm{cm}.
Como foi pedido adotar valores inteiros em cm, devemos escolher o menor inteiro b que garanta segurança. Testamos b=4\\ \mathrm{cm} e b=5\\ \mathrm{cm}.
  • Para b=4\\ \mathrm{cm}: A=16\\ \mathrm{cm^2}. A tensão axial seria
\sigma=\dfrac{F}{A}=\dfrac{200000}{16\times10^{-4}}=\;125\\ \mathrm{MPa},
o que excede \bar{\sigma}_m=100\\ \mathrm{MPa}. Portanto b=4\\ \mathrm{cm} é insuficiente.
  • Para b=5\\ \mathrm{cm}: A=25\\ \mathrm{cm^2}=25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}. A tensão axial é
\sigma=\dfrac{200000}{25\times10^{-4}}=80\\ \mathrm{MPa},
que satisfaz \sigma\le\bar{\sigma}_m. Logo b=5\\ \mathrm{cm} é admissível pelo critério do material.

Passo 5

Verificação das solicitações na junta para b=5\\ \mathrm{cm} e \varphi=40^\circ. Usamos as fórmulas do Passo 2 com \sigma=80\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_n=\sigma\cos^2\varphi=80\cos^2(40^\circ).
Calcular numericamente: \cos(40^\circ)\approx0{,}7660, então
\sigma_n\approx80\times(0{,}7660)^2=80\times0{,}5868\approx46{,}95\\ \mathrm{MPa}.
Agora o cisalhamento:
\tau=\sigma\sin\varphi\cos\varphi=80\sin(40^\circ)\cos(40^\circ).
Com \sin(40^\circ)\approx0{,}6428,
\tau\approx80\times0{,}6428\times0{,}7660\approx80\times0{,}4924\approx39{,}39\\ \mathrm{MPa}.
Comparação com os limites da junta: \bar{\sigma}_j=75\\ \mathrm{MPa} e \bar{\tau}_j=40\\ \mathrm{MPa}. Conclusão: \sigma_n\approx46{,}95<75 e \tau\approx39{,}39<40. Ambas as componentes ficam dentro dos limites (o cisalhamento fica muito próximo do limite, mas ainda inferior), então b=5\\ \mathrm{cm} é aceitável também para a junta.

Passo 6

Parte (b): encontrar \theta tal que a “intensidade da solicitação na junta seja sempre a mesma”. Interpretando isso como o ângulo em que a intensidade das componentes normal e de cisalhamento na junta é a mesma (isto é, |\sigma_n|=|\tau|), resolvemos:
\sigma\cos^2\theta=\sigma\sin\theta\cos\theta.
Assumindo \cos\theta\neq0 e \sigma\neq0, dividimos por \sigma\cos\theta:
\cos\theta=\sin\theta.
Isto implica
\tan\theta=1\quad\Rightarrow\quad \theta=45^\circ.
Comentário: essa solução independe do valor de \sigma; é puramente geométrica (vem das funções trigonométricas). Em \theta=45^\circ temos \sigma_n=\tau=\dfrac{\sigma}{2}.

Passo 7

Resumo numérico final (checagens feitas): o menor lado inteiro em cm que satisfaz a resistência do material e da junta é b=5\\ \mathrm{cm}. O ângulo que iguala as intensidades da componente normal e da de cisalhamento na junta é \theta=45^\circ.

Resposta

b=5\\ \mathrm{cm}
\theta=45^\circ

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