Considere uma barra submetida à compressão (
) com S.T. quadrada de
. A barra é constituída de duas peças de mesmo material, porém conectadas por uma junta colada ao longo do plano
a
com a horizontal. Para os dados indicados, pede-se: a) dimensione a S.T. adotando valores inteiros em cm; b) o ângulo
para que a intensidade da solicitação na junta seja sempre a mesma. Dados:
;
. [Resposta: a) b = 5 cm; b) 45으].
Passo 1
O enunciado dá uma barra com seção transversal quadrada
submetida a uma força compressiva vertical
. A barra é formada por duas peças unidas por uma junta colada ao longo do plano
, que forma
com a horizontal. Os dados de resistência são:
O que se pede:
a) dimensionar a aresta da seção quadrada, adotando valores inteiros em cm;
b) determinar o ângulo para que a intensidade da solicitação na junta seja “sempre a mesma” (interpreto isto como o ângulo em que as componentes normal e de cisalhamento na junta têm a mesma intensidade).
a) dimensionar a aresta
b) determinar o ângulo
Passo 2
Ferramenta necessária (explicada passo a passo): quando um corpo está sob uma tensão uniaxial vertical (aqui apenas tensão axial de compressão uniforme
na barra), a tensão normal e a tensão de cisalhamento em um plano inclinado podem ser obtidas por transformação de tensões. Se chamarmos
o ângulo que o plano faz com a horizontal (como no enunciado,
para a junta), então, tomando a tensão axial vertical como
(positiva em tração; aqui será compressiva com sinal oposto), as componentes sobre o plano são:
Breve derivação (intuição): escrevemos o vetor normal unitário do plano e aplicamos
com
tendo apenas o componente vertical
; isso conduz às expressões acima. Aqui:
-
é a tensão axial média na seção, com ; -
é a componente normal (neste caso compressiva se é compressão); -
é a componente de cisalhamento sobre o plano.\n
Observação prática: as fórmulas mostram quee que o módulo resultante da tração sobre o plano é (verificação algebraica possível mais abaixo).
Passo 3
Cálculo da área mínima exigida pela resistência do material à tensão normal axial. Usamos o critério simples que a tensão média axial não pode exceder
:
Converter unidades e calcular:
Converter para
(
):
Passo 4
Obter
a partir de
:
Como foi pedido adotar valores inteiros em cm, devemos escolher o menor inteiro
que garanta segurança. Testamos
e
.
- Para
: . A tensão axial seria
o que excede
. Portanto
é insuficiente.
- Para
: . A tensão axial é
que satisfaz
. Logo
é admissível pelo critério do material.
Passo 5
Verificação das solicitações na junta para
e
. Usamos as fórmulas do Passo 2 com
:
Calcular numericamente:
, então
Agora o cisalhamento:
Com
,
Comparação com os limites da junta:
e
. Conclusão:
e
. Ambas as componentes ficam dentro dos limites (o cisalhamento fica muito próximo do limite, mas ainda inferior), então
é aceitável também para a junta.
Passo 6
Parte (b): encontrar
tal que a “intensidade da solicitação na junta seja sempre a mesma”. Interpretando isso como o ângulo em que a intensidade das componentes normal e de cisalhamento na junta é a mesma (isto é,
), resolvemos:
Assumindo
e
, dividimos por
:
Isto implica
Comentário: essa solução independe do valor de
; é puramente geométrica (vem das funções trigonométricas). Em
temos
.
Passo 7
Resumo numérico final (checagens feitas): o menor lado inteiro em cm que satisfaz a resistência do material e da junta é
. O ângulo que iguala as intensidades da componente normal e da de cisalhamento na junta é
.