Um chuveiro elétrico deve ser alimentado, a partir do quadro de distribuição de uma residência, com fio de seção nominal adequada. Sabendo-se que a distância entre o quadro de distribuição e o ponto de instalação do chuveiro é de 25 m , e que o chuveiro é de 6000 W e 220 V , determine:
a) qual deve ser a tensão no quadro de forma a manter a tensão no chuveiro igual a 220 V , utilizando-se um fio de seção nominal 2,5 \mathrm{~mm}^{2}
(dados do fio: r=0,0148 \Omega / \mathrm{m}, x=0,00024 \Omega / \mathrm{m} );
b) a queda de tensão no circuito, nas condições do item a);
c) repetir os itens (a) e (b) utilizando um fio de seção nominal 4 \mathrm{~mm}^{2}
(dados do fio: r=0,0092 \Omega / \mathrm{m}, x=0,00022 \Omega / \mathrm{m} );
d) sabendo-se que a queda de tensão no circuito deve ser inferior a 3 \%, qual dos fios deverá ser utilizado?
Obs.: os valores de resistência e reatância dos fios são por circuito (levam em conta o trecho de ida e volta)

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
a) Determinar qual deve ser a tensão no quadro de distribuição para que a tensão no chuveiro seja 220\\ \mathrm{V}, usando fio de seção nominal 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2.
b) Calcular a queda de tensão no circuito nas condições do item (a).
c) Repetir (a) e (b) agora usando fio de seção nominal 4\\ \mathrm{mm}^2.
d) Escolher qual fio deve ser usado sabendo que a queda de tensão deve ser inferior a 3\%.
Informações dadas e fixas (resuma o que temos):
  • Distância entre quadro e chuveiro: 25\\ \mathrm{m}.
  • Potência do chuveiro: 6000\\ \mathrm{W}.
  • Tensão desejada no chuveiro (no ponto de consumo): 220\\ \mathrm{V}.
  • Dados do fio 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2: r=0{,}0148\\ \Omega/\mathrm{m}, x=0{,}00024\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • Dados do fio 4\\ \mathrm{mm}^2: r=0{,}0092\\ \Omega/\mathrm{m}, x=0{,}00022\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • Observação importante do enunciado: os valores de r e x são por circuito (levam em conta ida e volta). Isso significa que para a distância de 25\\ \mathrm{m} multiplicamos diretamente estes valores por 25 para obter a resistência e reatância totais do circuito.
  • Assumiremos que o chuveiro é uma carga puramente resistiva (aquecedor), logo o fator de potência é 1 e a corrente está em fase com a tensão no chuveiro. Não se preocupe: isso é padrão para chuveiros elétricos.

Passo 2

Calcular a corrente do chuveiro e explicar a fórmula usada.
Conceito rápido: para uma carga resistiva em corrente contínua ou senoidal em regime permanente, a potência ativa é dada por
P = V \cdot I
onde P é a potência em watts, V é a tensão eficaz em volts e I é a corrente eficaz em ampères. Como o chuveiro é resistivo e queremos V_{\text{chuveiro}}=220\\ \mathrm{V}, a corrente é
I = \frac{P}{V_{\text{chuveiro}}}.
Substituindo:
I = \frac{6000}{220}.
Calculemos numericamente (arredondando convenientemente para duas casas decimais para facilitar os cálculos de prova):
I \approx 27{,}27\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: esse é o valor da corrente que circula no fio quando o chuveiro estiver ligado. É com essa corrente que teremos queda de tensão no fio.

Passo 3

Determinar resistência e reatância totais do circuito (ida e volta) e explicar o porquê de multiplicar por 25\\ \mathrm{m}.
Os dados de r e x são por metro do circuito já contando ida+volta, então a resistência total R e reatância total X são:
R = r \cdot L,\qquad X = x \cdot L,
onde L é a distância de 25\\ \mathrm{m}.
Primeiro para 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2:
R_{2{,}5} = 0{,}0148 \times 25 = 0{,}37\\ \Omega,
X_{2{,}5} = 0{,}00024 \times 25 = 0{,}006\\ \Omega.
Agora para 4\\ \mathrm{mm}^2:
R_{4} = 0{,}0092 \times 25 = 0{,}23\\ \Omega,
X_{4} = 0{,}00022 \times 25 = 0{,}0055\\ \Omega.
Didática curta: R é a resistência total enfrentada pela corrente no caminho de ida e volta; X é a reatância total (efeito indutivo/reativo do fio). Para chuveiro (carga resistiva) o efeito de X é muito pequeno, mas vamos considerá-lo corretamente.

Passo 4

Expressar a queda de tensão e a tensão no quadro em termos de fasores e dar a fórmula que vamos aplicar.
Conceito de fasor e impedância: a impedância total do fio é
Z = R + jX.
A queda de tensão em fasor é \Delta \underline{V} = I \cdot Z. Como a corrente do chuveiro é praticamente real (ângulo 0^\circ), podemos tomar I como número real positivo. A magnitude da queda de tensão é
\Delta V = |I\cdot Z| = I\sqrt{R^2+X^2}.
A tensão no quadro em módulo (valor eficaz que precisamos fornecer no quadro para que, após a queda, chegue 220\\ \mathrm{V} no chuveiro) é o módulo do fasor
\underline{V}_{\text{quadro}} = \underline{V}_{\text{chuveiro}} + I\cdot Z.
Tomando V_{\text{chuveiro}} como referência real ( 220\\ \mathrm{V} no eixo real ), escrevemos a magnitude procurada:
V_{\text{quadro}} = \sqrt{\bigl(V_{\text{chuveiro}} + I R\bigr)^2 + \bigl(I X\bigr)^2 }.
Observação didática: se X for muito pequeno comparado a R, V_{\text{quadro}} fica muito próximo de V_{\text{chuveiro}} + I R, mas aqui calculamos exatamente.

Passo 5

Aplicar as fórmulas ao caso 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2 e fazer os cálculos passo a passo.
Recordando:
I \approx 27{,}27\\ \mathrm{A},\quad R_{2{,}5}=0{,}37\\ \Omega,\quad X_{2{,}5}=0{,}006\\ \Omega.
Queda de tensão em módulo:
\Delta V_{2{,}5}=I\sqrt{R_{2{,}5}^2+X_{2{,}5}^2} =27{,}27\sqrt{0{,}37^2+0{,}006^2}.
Calculemos:
0{,}37^2 = 0{,}1369,\qquad 0{,}006^2 = 0{,}000036,
\sqrt{0{,}1369+0{,}000036}=\sqrt{0{,}136936}\approx 0{,}370034.
Portanto
\Delta V_{2{,}5} \approx 27{,}27 \times 0{,}370034 \approx 10{,}09\\ \mathrm{V}.
Tensão no quadro (módulo):
V_{\text{quadro},2{,}5}=\sqrt{\bigl(220 + I R_{2{,}5}\bigr)^2 + \bigl(I X_{2{,}5}\bigr)^2 }.
Calculemos as componentes:
I R_{2{,}5} = 27{,}27 \times 0{,}37 \approx 10{,}09\\ \mathrm{V},
I X_{2{,}5} = 27{,}27 \times 0{,}006 \approx 0{,}164\\ \mathrm{V}.
Assim
V_{\text{quadro},2{,}5}=\sqrt{(220+10{,}09)^2 + (0{,}164)^2} =\sqrt{230{,}09^2 + 0{,}0269}\approx 230{,}09\\ \mathrm{V}.
Percentual da queda em relação a 220\\ \mathrm{V}:
\%_{\Delta,2{,}5} = \frac{10{,}09}{220}\times 100\%\approx 4{,}59\%.
Comentário amigo: com fio 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2 a queda é cerca de 10\\ \mathrm{V}, ou quase 4{,}6\% — já dá para sentir no chuveiro.

Passo 6

Repetir os cálculos para o fio 4\\ \mathrm{mm}^2.
Recordando:
R_{4}=0{,}23\\ \Omega,\quad X_{4}=0{,}0055\\ \Omega,\quad I\approx 27{,}27\\ \mathrm{A}.
Queda de tensão:
\Delta V_{4}=I\sqrt{R_{4}^2+X_{4}^2} =27{,}27\sqrt{0{,}23^2+0{,}0055^2}.
Calculemos:
0{,}23^2 = 0{,}0529,\qquad 0{,}0055^2 = 0{,}00003025,
\sqrt{0{,}0529+0{,}00003025}=\sqrt{0{,}05293025}\approx 0{,}230119.
Portanto
\Delta V_{4}\approx 27{,}27 \times 0{,}230119 \approx 6{,}28\\ \mathrm{V}.
Tensão no quadro (módulo):
I R_{4} = 27{,}27 \times 0{,}23 \approx 6{,}27\\ \mathrm{V},
I X_{4} = 27{,}27 \times 0{,}0055 \approx 0{,}15\\ \mathrm{V},
V_{\text{quadro},4}=\sqrt{(220+6{,}27)^2 + (0{,}15)^2} \approx \sqrt{226{,}27^2 + 0{,}0225} \approx 226{,}27\\ \mathrm{V}.
Percentual da queda em relação a 220\\ \mathrm{V}:
\%_{\Delta,4} = \frac{6{,}28}{220}\times 100\% \approx 2{,}85\%.
Comentário amigo: com fio 4\\ \mathrm{mm}^2 a queda fica abaixo de 3\%, portanto é aceitável segundo a condição do item (d).

Passo 7

Decisão sobre qual fio usar considerando a restrição de queda máxima de 3\%.
Regra aplicada (interpretação prática): a queda de tensão no circuito deve ser inferior a 3\% da tensão nominal do equipamento ( 220\\ \mathrm{V}). Isso significa queda máxima permitida
0{,}03 \times 220 = 6{,}6\\ \mathrm{V}.
Comparando:
  • Fio 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2: \Delta V \approx 10{,}09\\ \mathrm{V} > 6{,}6\\ \mathrm{V} (ultrapassa 3\%).
  • Fio 4\\ \mathrm{mm}^2: \Delta V \approx 6{,}28\\ \mathrm{V} < 6{,}6\\ \mathrm{V} (fica dentro do limite de 3\%).
Conclusão: o fio apropriado, atendendo à restrição de queda de tensão inferior a 3\%, é o fio de seção nominal 4\\ \mathrm{mm}^2.

Resposta

(a) V_{\text{quadro}}\approx 230{,}09\\ \mathrm{V} (para fio 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2).
(b) Queda de tensão \Delta V\approx 10{,}09\\ \mathrm{V} (\approx 4{,}59\%) (para fio 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2).
(c) V_{\text{quadro}}\approx 226{,}27\\ \mathrm{V}; \Delta V\approx 6{,}28\\ \mathrm{V} (\approx 2{,}85\%) (para fio 4\\ \mathrm{mm}^2).
(d) Deve ser utilizado o fio de 4\\ \mathrm{mm}^2 (porque sua queda de tensão \approx 2{,}85\% é inferior a 3\%).

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