Considere um circuito RLC série. Explique a condição de ressonância e determine a frequência de ressonância para \mathrm{L}=100 \mathrm{mH} e \mathrm{C}=10 \mu \mathrm{~F}.
O que acontece com a impedância do circuito nesse ponto?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar a condição de ressonância para um circuito RLC série; (2) determinar a frequência de ressonância para \mathrm{L}=100\\ \mathrm{mH} e \mathrm{C}=10\\ \mu\mathrm{F}.
Dados fornecidos:
\mathrm{L}=100\\ \mathrm{mH},\qquad \mathrm{C}=10\\ \mu\mathrm{F}.
Também é perguntado o que acontece com a impedância do circuito nesse ponto.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a expressão da impedância complexa do circuito RLC série. Em regime senoidal (com dependência temporal e^{j\omega t}) cada elemento tem uma impedância:
\text{resistor:}\quad Z_R = R \quad(\text{real}),
\text{indutor:}\quad Z_L = j\omega L,
\text{capacitor:}\quad Z_C = -\dfrac{j}{\omega C},
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \omega é a pulsação angular em \mathrm{rad/s}. A impedância total em série é a soma:
Z(\omega)=R + j\omega L - \dfrac{j}{\omega C}.
Aqui a parte real \Re\{Z\}=R representa a resistência (dissipação de energia) e a parte imaginária \Im\{Z\}=\omega L - 1/(\omega C) representa a reatância (energia armazenada em L e C). Fisicamente, quando a parte imaginária é positiva o circuito é indutivo (tensão adiantada), quando é negativa é capacitivo (tensão atrasada).

Passo 3

A condição de ressonância em um circuito RLC série é exatamente a anulação da parte imaginária da impedância, ou seja as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam. Matematicamente:
\Im\{Z(\omega)\}=\omega L - \dfrac{1}{\omega C}=0.
Resolvendo essa equação para \omega obtemos a pulsação angular de ressonância \omega_0:
\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}\quad\Rightarrow\quad \omega_0^2 = \dfrac{1}{LC}\quad\Rightarrow\quad \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
Significado físico: na ressonância a reatância indutiva \omega_0 L é igual à reatância capacitiva \dfrac{1}{\omega_0 C} em módulo, então não há parte reativa líquida. A energia oscila entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor sem troca líquida com o elemento reativo, de modo que o circuito se comporta, do ponto de vista da impedância, como uma resistência pura.

Passo 4

Agora calculemos numericamente usando os valores dados. Primeiro convertemos para unidades do SI:
\mathrm{L}=100\\ \mathrm{mH}=0{,}100\\ \mathrm{H},\qquad \mathrm{C}=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Calcule LC:
LC = 0{,}100 \times 1{,}0\times 10^{-5} = 1{,}0\times 10^{-6}.
A raiz quadrada é
\sqrt{LC} = \sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 1{,}0\times 10^{-3}.
Logo a pulsação de ressonância é
\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{1{,}0\times 10^{-3}} = 1000\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência em hertz é
f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1000}{2\pi}\\ \mathrm{Hz} \approx 159{,}15\\ \mathrm{Hz}.
(Arredondei para duas casas decimais; você pode usar 159{,}2\\ \mathrm{Hz} ou 159\\ \mathrm{Hz} dependendo da precisão desejada.)

Passo 5

Agora explico claramente o que acontece com a impedância no ponto de ressonância. Substituindo \omega=\omega_0 na expressão de Z:
Z(\omega_0)=R + j\bigl(\omega_0 L - \tfrac{1}{\omega_0 C}\bigr)=R + j\cdot 0 = R.
Portanto, na ressonância a impedância do circuito série torna-se puramente real e igual à resistência série R. Consequências práticas e físicas:
  • O módulo da impedância é mínimo e vale |Z(\omega_0)|=R.
  • A corrente no circuito, para uma dada tensão aplicada, atinge o seu máximo: I_{\max}=V_{\text{aplicada}}/R.
  • A defasagem entre tensão e corrente é zero (são senos em fase).
  • Se R for muito pequeno (ideal R=0) o circuito tenderia a ter corrente muito grande (no modelo ideal, corrente infinita — isso é físico apenas teoricamente).

Passo 6

Resumo intuitivo rápido para decorar na prova: ressonância em série ocorre quando a reatância indutiva e a capacitiva se anulam; a fórmula chave é
\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
No ponto de ressonância o circuito age como uma resistência pura e a corrente é máxima.

Resposta

f_0 \approx 159{,}15\\ \mathrm{Hz}.
Na ressonância a impedância torna-se puramente resistiva: Z(\omega_0)=R (a parte imaginária é zero), logo |Z(\omega_0)|=R e a corrente atinge seu valor máximo.

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