Uma fonte \mathrm{v}(\mathrm{t})=100 \cos (1000 \mathrm{t}) \mathrm{V} alimenta um circuito em série \operatorname{com} \mathrm{R}=50 \Omega, \mathrm{~L}=20 \mathrm{mH} e \mathrm{C}=50 \mu \mathrm{~F}.
(a) Determine a impedância equivalente.
(b) Calcule a corrente no domínio da frequência e no domínio do tempo.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
  • Pede (a) a impedância equivalente do circuito série R- L- C e (b) a corrente no domínio da frequência e no domínio do tempo.\n
  • Dados do enunciado:\n
    \;v(t)=100\cos(1000t)\\ \mathrm{V}.\n
    \;R=50\\ \Omega.\n
    \;L=20\\ \mathrm{mH}=0{,}02\\ \mathrm{H}.\n
    \;C=50\\ \mathrm{\mu F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.\n
  • A partir de v(t) identificamos a pulsação (frequência angular) \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.\n

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula):\n
  • Impedância ( Z) é a generalização da resistência para sinais senoidais: combina parte real (resistiva) e parte imaginária (reativa). Usa-se o número imaginário j (onde j^2=-1).\n
  • Para elementos em série a impedância equivalente é a soma das impedâncias individuais.\n
  • Impedâncias dos elementos:\n
    \;Z_R = R (real, sem fase).\n
    \;Z_L = j\omega L (reatância indutiva, positiva na parte imaginária).\n
    \;Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\,\dfrac{j}{\omega C} (reatância capacitiva, negativa na parte imaginária).\n
  • Para corrente no domínio da frequência usamos fasores: se v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) então o fasor é \tilde V=V_m\angle\varphi (aqui usamos amplitude de pico). A lei de Ohm em fasores é \tilde I=\dfrac{\tilde V}{Z_{eq}}.\n
    Vou aplicar essas fórmulas aos valores numéricos agora.

Passo 3

Calcular as impedâncias individuais numericamente:\n
  • Calcule \;Z_L = j\omega L.\n
    \displaystyle Z_L = j\cdot 1000 \cdot 0{,}02 = j\cdot 20\\ \Omega.\n
    Explicação: multiplica-se a pulsação pela indutância para obter a reatância indutiva em ohms.\n
  • Calcule \;Z_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\,\dfrac{j}{\omega C}.\n
    \displaystyle Z_C = -\,\dfrac{j}{1000\cdot 50\times10^{-6}} = -\,\dfrac{j}{0{,}05} = -\,j\cdot 20\\ \Omega.\n
    Observação didática: \dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{1000\cdot 50\cdot10^{-6}}=20\\ \Omega. A capacitiva é negativa em termos imaginários.

Passo 4

Interpretar os valores encontrados (mini-aula sobre ressonância):\n
  • Temos Z_L = j20\\ \Omega e Z_C = -j20\\ \Omega. Note que as partes imaginárias são iguais em módulo e de sinais opostos.\n
  • Isso significa que, nesta pulsação \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}, as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam: \omega L = \dfrac{1}{\omega C}.\n
  • Esse é exatamente o caso de ressonância série: a soma das reatâncias é zero, sobrando apenas a resistência. Em ressonância a impedância é puramente real e mínima (para um circuito série), limitando a corrente apenas por R.

Passo 5

Calcular a impedância equivalente do circuito (parte a):\n
  • Soma em série: \displaystyle Z_{eq}=Z_R+Z_L+Z_C.\n
  • Substituindo os valores:\n
    \displaystyle Z_{eq}=50 + j20 + (-j20) = 50 + j(20-20) = 50 + j0.\n
  • Portanto \displaystyle Z_{eq}=50\\ \Omega (puramente resistivo).\n
    Breve comentário: foi exatamente por causa da igualdade \omega L = 1/(\omega C) que a parte imaginária cancelou.

Passo 6

Fasor da fonte e cálculo da corrente no domínio da frequência (parte b — domínio da frequência):\n
  • Converter v(t)=100\cos(1000t) em fasor: amplitude de pico V_m=100 e fase 0, então \displaystyle \tilde V = 100\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.\n
    Observação didática: poderíamos trabalhar com valores eficazes (RMS) dividindo amplitude por \sqrt{2}, mas não é necessário se mantivermos coerência (usamos amplitude tanto em \tilde V quanto em \tilde I).\n
  • Aplicar \displaystyle \tilde I=\dfrac{\tilde V}{Z_{eq}}.\n
    \displaystyle \tilde I = \dfrac{100\angle 0^\circ}{50} = 2\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.\n
  • Em forma retangular: \tilde I = 2 + j0\\ \mathrm{A}. Isto significa amplitude de pico 2\\ \mathrm{A} e fase 0^\circ (a corrente está em fase com a tensão).

Passo 7

Voltar ao domínio do tempo (parte b — domínio do tempo) e conclusão:\n
  • Reconstruir a corrente no tempo a partir do fasor de amplitude de pico: se \tilde I = I_m\angle \varphi então i(t)=I_m\cos(\omega t + \varphi).\n
  • Aqui \;I_m=2 e \varphi=0, logo\n
    \displaystyle i(t)=2\cos(1000t)\\ \mathrm{A}.\n
  • Interpretação final: por estar em ressonância (neste \omega) o circuito se comporta apenas como a resistência 50\\ \Omega, a corrente é máxima para essa resistência dada a amplitude da fonte, e tensão e corrente estão em fase.

Resposta

(a) \;Z_{eq}=50\\ \Omega\n
(b) \;\tilde I=2\angle 0^\circ\\ \mathrm{A} (domínio da frequência) \;,\;\; i(t)=2\cos(1000t)\\ \mathrm{A} (domínio do tempo)

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