Uma fonte
alimenta um circuito em série
e
.
(a) Determine a impedância equivalente.
(b) Calcule a corrente no domínio da frequência e no domínio do tempo.
(a) Determine a impedância equivalente.
(b) Calcule a corrente no domínio da frequência e no domínio do tempo.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:\n
- Pede (a) a impedância equivalente do circuito série
- - e (b) a corrente no domínio da frequência e no domínio do tempo.\n - Dados do enunciado:\n
.\n
.\n
.\n
.\n - A partir de
identificamos a pulsação (frequência angular) .\n
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula):\n
- Impedância (
) é a generalização da resistência para sinais senoidais: combina parte real (resistiva) e parte imaginária (reativa). Usa-se o número imaginário (onde ).\n - Para elementos em série a impedância equivalente é a soma das impedâncias individuais.\n
- Impedâncias dos elementos:\n
(real, sem fase).\n
(reatância indutiva, positiva na parte imaginária).\n
(reatância capacitiva, negativa na parte imaginária).\n - Para corrente no domínio da frequência usamos fasores: se
então o fasor é (aqui usamos amplitude de pico). A lei de Ohm em fasores é .\n
Vou aplicar essas fórmulas aos valores numéricos agora.
Passo 3
Calcular as impedâncias individuais numericamente:\n
- Calcule
.\n
\n
Explicação: multiplica-se a pulsação pela indutância para obter a reatância indutiva em ohms.\n - Calcule
.\n
\n
Observação didática:. A capacitiva é negativa em termos imaginários.
Passo 4
Interpretar os valores encontrados (mini-aula sobre ressonância):\n
- Temos
e . Note que as partes imaginárias são iguais em módulo e de sinais opostos.\n - Isso significa que, nesta pulsação
, as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam: .\n - Esse é exatamente o caso de ressonância série: a soma das reatâncias é zero, sobrando apenas a resistência. Em ressonância a impedância é puramente real e mínima (para um circuito série), limitando a corrente apenas por
.
Passo 5
Calcular a impedância equivalente do circuito (parte a):\n
- Soma em série:
\n - Substituindo os valores:\n
\n - Portanto
(puramente resistivo).\n
Breve comentário: foi exatamente por causa da igualdadeque a parte imaginária cancelou.
Passo 6
Fasor da fonte e cálculo da corrente no domínio da frequência (parte b — domínio da frequência):\n
- Converter
em fasor: amplitude de pico e fase , então .\n
Observação didática: poderíamos trabalhar com valores eficazes (RMS) dividindo amplitude por, mas não é necessário se mantivermos coerência (usamos amplitude tanto em quanto em ).\n - Aplicar
\n
\n - Em forma retangular:
. Isto significa amplitude de pico e fase (a corrente está em fase com a tensão).
Passo 7
Voltar ao domínio do tempo (parte b — domínio do tempo) e conclusão:\n
- Reconstruir a corrente no tempo a partir do fasor de amplitude de pico: se
então .\n - Aqui
e , logo\n
\n - Interpretação final: por estar em ressonância (neste
) o circuito se comporta apenas como a resistência , a corrente é máxima para essa resistência dada a amplitude da fonte, e tensão e corrente estão em fase.
Resposta
(a)
\n
(b) (domínio da frequência)
(domínio do tempo)
(b)