Um ciclista está pedalando com velocidade constante em uma estrada plana e retilínea joga uma bola de tênis verticalmente para cima com a mão direita. Desprezando a resistência do ar, onde cai a bola?
a frente do ciclista
atrás do ciclista
na mão direita do ciclista
na mão esquerda do ciclista
não é possível dizer, a menos que a
velocidade do ciclista e a altura máxima atingida pela bola sejam conhecidas
não é possível dizer, a menos que a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte.
-
Informações dadas:
- Um ciclista está em uma estrada plana e retilínea, movendo-se com velocidade constante.
- O ciclista joga uma bola de tênis verticalmente para cima com a mão direita.
- Devemos desprezar a resistência do ar.
-
O que se pergunta:
- Entre as opções dadas, onde a bola cai: na frente do ciclista, atrás do ciclista, na mão direita do ciclista, na mão esquerda do ciclista, ou não é possível dizer sem saber velocidade/altura?
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicado devagar): movimentos horizontal e vertical são independentes quando a aceleração em uma das direções não afeta a outra. Aqui, a gravidade atua apenas na direção vertical (para baixo) e, como estamos desprezando a resistência do ar, não há força horizontal sobre a bola. Portanto, a componente horizontal da velocidade da bola permanece constante durante todo o voo.
Vou introduzir variáveis claras:
-
= velocidade horizontal do ciclista (constante). -
= velocidade inicial vertical da bola (módulo, para cima) no momento do lançamento. -
= aceleração da gravidade (positivo, ). -
= tempo desde o lançamento. - Vou assumir que a bola é lançada de uma altura e que ao final retorna aproximadamente à mesma altura da mão (situação clássica). Se a mão muda de posição vertical durante o pedalar, isso complica, mas o enunciado considera o caso ideal.
Passo 3
Equação do movimento vertical (explicando cada termo):
- A posição vertical da bola, medida a partir da altura de lançamento, é dada por
onde
é o ganho de altura devido à velocidade inicial e
é a descida causada pela gravidade. As variáveis:
é a altura relativa ao ponto de lançamento no tempo
.
Passo 4
Tempo de voo até retornar à mesma altura da mão:
- Para voltar à altura inicial, impondo
(além do instante ), resolvemos
Fatorando
:
As soluções são
(lançamento) e
Portanto, o tempo total de voo (subida e descida até a mesma altura) é
. Isso depende só da velocidade vertical inicial
e de
, e não de qualquer velocidade horizontal.
Passo 5
Equação do movimento horizontal da bola (explicando): como não há força horizontal, a componente horizontal da velocidade da bola permanece igual à velocidade horizontal da mão no instante do lançamento. A mão do ciclista move-se com a velocidade do ciclista
no referencial do solo. Assim a posição horizontal da bola, medida em relação a um ponto fixo no solo, é
onde
é a posição horizontal da bola no instante
. Em particular, o deslocamento horizontal da bola durante o tempo de voo
é
Passo 6
Deslocamento horizontal do ciclista no mesmo intervalo de tempo:
- O ciclista, movendo-se com velocidade constante
, desloca-se no mesmo tempo uma distância
a mesma expressão do passo anterior.
Passo 7
Conclusão lógica (comparando deslocamentos):
- A bola e o ciclista (mais precisamente, a mão do ciclista) experimentam exatamente o mesmo deslocamento horizontal
durante o tempo de voo . Isso significa que, na direção horizontal, a bola não “passa para frente” nem “fica para trás” em relação ao ciclista; sua posição horizontal relativa ao ciclista permanece a mesma do instante do lançamento.
Passo 8
Resposta final e observações didáticas:
- Portanto, desprezando a resistência do ar e assumindo que o ciclista mantém velocidade constante e que a mão não se move lateralmente em relação ao corpo, a bola volta a cair na mão direita do ciclista.
- Observação prática: se houvesse resistência do ar, a componente horizontal da velocidade da bola seria reduzida e a bola tenderia a cair levemente atrás; ou se o ciclista acelerasse/freasse ou movesse a mão, o ponto de queda mudaria. Mas nada disso está no enunciado — lá diz velocidade constante e desprezando resistência do ar.
Resposta
na mão direita do ciclista