Um estudante de engenharia soma * dois vetores deslocamento cujos módulos são: 4 m e 3 m . Qual das afirmações abaixo a respeito do módulo do deslocamento resultante é verdadeira
\bigcirc o módulo é 7 m
\bigcirc o módulo é 5 m
o módulo pode ter qualquer valor entre 1 m
\bigcirc e 7 m , dependendo da orientação dos vetores
\bigcirc o módulo pode ser zero, dependendo da orientação dos vetores
não é possível chegar a nenhuma
\bigcirc conclusão sem conhecer a orientação dos vetores

Passo 1

O enunciado dá dois vetores deslocamento cujos módulos são 4\\ \text{m} e 3\\ \text{m}. Pede para decidir qual das afirmações abaixo sobre o módulo do deslocamento resultante é verdadeira:
  • \bigcirc o módulo é 7\\ \text{m}
  • \bigcirc o módulo é 5\\ \text{m}
  • o módulo pode ter qualquer valor entre 1\\ \text{m} e 7\\ \text{m}, dependendo da orientação dos vetores
  • \bigcirc o módulo pode ser zero, dependendo da orientação dos vetores
  • \bigcirc não é possível chegar a nenhuma conclusão sem conhecer a orientação dos vetores
Dados relevantes: os módulos dos vetores são a=4\\ \text{m} e b=3\\ \text{m}. A orientação relativa entre eles (o ângulo \theta entre os vetores) não foi dada — esta é a variável que vai influenciar o módulo resultante.

Passo 2

Entendendo geometria da soma vetorial (a regra que vamos usar). Quando somamos dois vetores \vec{a} e \vec{b} com ângulo entre eles \theta, podemos formar um triângulo colocando \vec{b} com a cauda na ponta de \vec{a}; o vetor resultante \vec{R}=\vec{a}+\vec{b} é o terceiro lado desse triângulo. A lei dos cossenos (um resultado da geometria plana) dá o quadrado do comprimento do terceiro lado em função dos outros dois lados e do ângulo entre eles:
R^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos\theta.
Aqui:
  • R é o módulo do vetor resultante \vec{R},
  • a é o módulo de \vec{a},
  • b é o módulo de \vec{b},
  • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} ( 0\le\theta\le\pi para orientações no plano).
Breve explicação do porquê: a lei dos cossenos é a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer; quando \theta=90^\circ (vetores perpendiculares) ela reduz ao Pitágoras R^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso numérico com a=4\\ \text{m} e b=3\\ \text{m}:
R^{2}=4^{2}+3^{2}+2\cdot4\cdot3\cos\theta = 16+9+24\cos\theta = 25+24\cos\theta.
Portanto
R=\sqrt{25+24\cos\theta}.
Note que \cos\theta pode variar entre -1 e 1, porque este é o intervalo de oscilação do cosseno para ângulos reais.

Passo 4

Calculemos os extremos possíveis usando \cos\theta\in[-1,1].
Máximo de R: ocorre quando \cos\theta=1 (isto é, \theta=0, vetores paralelos no mesmo sentido).
R_{\max}=\sqrt{25+24\cdot1}=\sqrt{49}=7\\ \text{m}.
Isto corresponde ao caso em que os vetores estão alinhados e apontam para o mesmo lado, então os módulos somam: 4+3=7\\ \text{m}.

Passo 5

Mínimo de R: ocorre quando \cos\theta=-1 (isto é, \theta=\pi, vetores colineares em sentidos opostos).
R_{\min}=\sqrt{25+24\cdot(-1)}=\sqrt{1}=1\\ \text{m}.
Isto corresponde ao caso em que um vetor “subtrai” do outro: |4-3|=1\\ \text{m}. Observe que não dá zero porque os módulos são diferentes; para obter zero os módulos teriam de ser iguais e orientados em sentidos opostos.

Passo 6

Conclusão sobre o intervalo de valores: como \cos\theta varia continuamente em [-1,1] e R(\theta)=\sqrt{25+24\cos\theta} é função contínua de \cos\theta, R assume todos os valores no intervalo fechado
1\\ \text{m} \le R \le 7\\ \text{m}.
Portanto o módulo resultante pode ser qualquer valor entre 1\\ \text{m} e 7\\ \text{m}, dependendo da orientação relativa dos vetores.
Exemplos concretos:
  • \theta=0^\circ (mesmo sentido) dá R=7\\ \text{m}.
  • \theta=90^\circ (perpendicular) dá R=\sqrt{16+9}=5\\ \text{m} — é por isso que a opção 5\\ \text{m} é verdadeira só num caso particular.
  • \theta=180^\circ (sentidos opostos) dá R=1\\ \text{m}.
  • Zero não é possível porque R_{\min}=1\\ \text{m} > 0.

Resposta

o módulo pode ter qualquer valor entre 1\\ \text{m} e 7\\ \text{m}, dependendo da orientação dos vetores

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