Um estudante de engenharia soma * dois vetores deslocamento cujos módulos são: 4 m e 3 m . Qual das afirmações abaixo a respeito do módulo do deslocamento resultante é verdadeira
o módulo é 7 m
o módulo é 5 m
o módulo pode ter qualquer valor entre 1 m
e 7 m , dependendo da orientação dos vetores
o módulo pode ser zero, dependendo da orientação dos vetores
não é possível chegar a nenhuma
conclusão sem conhecer a orientação dos vetores
o módulo pode ter qualquer valor entre 1 m
não é possível chegar a nenhuma
Passo 1
O enunciado dá dois vetores deslocamento cujos módulos são
e
. Pede para decidir qual das afirmações abaixo sobre o módulo do deslocamento resultante é verdadeira:
-
o módulo é -
o módulo é - o módulo pode ter qualquer valor entre
e , dependendo da orientação dos vetores -
o módulo pode ser zero, dependendo da orientação dos vetores -
não é possível chegar a nenhuma conclusão sem conhecer a orientação dos vetores
Dados relevantes: os módulos dos vetores são
e
. A orientação relativa entre eles (o ângulo
entre os vetores) não foi dada — esta é a variável que vai influenciar o módulo resultante.
Passo 2
Entendendo geometria da soma vetorial (a regra que vamos usar). Quando somamos dois vetores
e
com ângulo entre eles
, podemos formar um triângulo colocando
com a cauda na ponta de
; o vetor resultante
é o terceiro lado desse triângulo. A lei dos cossenos (um resultado da geometria plana) dá o quadrado do comprimento do terceiro lado em função dos outros dois lados e do ângulo entre eles:
Aqui:
-
é o módulo do vetor resultante , -
é o módulo de , -
é o módulo de , -
é o ângulo entre e ( para orientações no plano).
Breve explicação do porquê: a lei dos cossenos é a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer; quando
(vetores perpendiculares) ela reduz ao Pitágoras
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso numérico com
e
:
Portanto
Note que
pode variar entre
e
, porque este é o intervalo de oscilação do cosseno para ângulos reais.
Passo 4
Calculemos os extremos possíveis usando
.
Máximo de
: ocorre quando
(isto é,
, vetores paralelos no mesmo sentido).
Isto corresponde ao caso em que os vetores estão alinhados e apontam para o mesmo lado, então os módulos somam:
.
Passo 5
Mínimo de
: ocorre quando
(isto é,
, vetores colineares em sentidos opostos).
Isto corresponde ao caso em que um vetor “subtrai” do outro:
. Observe que não dá zero porque os módulos são diferentes; para obter zero os módulos teriam de ser iguais e orientados em sentidos opostos.
Passo 6
Conclusão sobre o intervalo de valores: como
varia continuamente em
e
é função contínua de
,
assume todos os valores no intervalo fechado
Portanto o módulo resultante pode ser qualquer valor entre
e
, dependendo da orientação relativa dos vetores.
Exemplos concretos:
-
(mesmo sentido) dá . -
(perpendicular) dá — é por isso que a opção é verdadeira só num caso particular. -
(sentidos opostos) dá . - Zero não é possível porque
> .
Resposta
o módulo pode ter qualquer valor entre
e
, dependendo da orientação dos vetores