Numa cidade com 10.000 adultos, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Com o resultado obtido, observou-se 40 a favor. Se na realidade, as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado?

Passo 1

O enunciado diz que numa população de N=10\,000 adultos, exatamente metade 5\,000 são a favor do projeto e metade são contra. Tiramos uma amostra sem reposição de n=60 adultos e observamos k=40 a favor. Queremos a probabilidade de obter exatamente esse resultado, assumindo que p=\tfrac12. O modelo exato é a distribuição hipergeométrica, mas como N é muito maior que n, podemos aproximar por uma binomial.

Passo 2

Usando o modelo exato (hipergeométrica), a probabilidade de obter exatamente k=40 a favor é
P(K=40) =\frac{\binom{5000}{40}\,\binom{5000}{20}}{\binom{10000}{60}}.

Passo 3

Como N é grande em comparação a n, aproximamos por
K\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=60,\;p=\tfrac12\bigr),
de modo que
P(K=40)\approx \binom{60}{40}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{40}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{20} =\binom{60}{40}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{60}.

Passo 4

Calculando numericamente,
\binom{60}{40}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{60} \approx 0{,}00363.
Isso corresponde a cerca de 0{,}36\% de chance de, ao acaso, obter exatamente 40 pessoas a favor em 60 entrevistados quando p=0{,}5.

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 40 a favor em 60 é aproximadamente 0{,}00363 (ou 0{,}36\%).

Exercícios relacionados