A probabilidade de um atirador acertar o alvo num único tiro é 0,05 . Sabendo-se que o atirador disparou 10 tiros, determinar a probabilidade de que:
a) nenhum tiro acerte o alvo;
b) mais de dois tiros acertem o alvo.

Passo 1

O enunciado diz que o atirador faz n=10 tiros e a probabilidade de acertar em cada um é p=0,05. Vamos definir a variável aleatória
X \sim \mathrm{Binomial}(n=10,\;p=0,05),
que conta o número de acertos em 10 tiros. Precisamos achar
(a) \Pr(X=0) e
(b) \Pr(X>2).

Passo 2

Lembrando que, para uma binomial,
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Vamos usar essa fórmula para k=0,1,2.

Passo 3

Para nenhum acerto k=0 temos
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}\,(0,05)^0\,(0,95)^{10} =(0,95)^{10}.

Passo 4

Para mais de dois acertos usamos o complementar de até dois acertos:
\Pr(X>2) =1-\Pr(X\le2) =1-\bigl[\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\bigr].
Aqui
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}(0,05)^1(0,95)^9 =10\cdot0,05\cdot(0,95)^9,
\Pr(X=2)=\binom{10}{2}(0,05)^2(0,95)^8 =45\cdot(0,05)^2\cdot(0,95)^8.

Passo 5

Calculando numericamente:
(0,95)^{10}\approx0,5987,
10\cdot0,05\cdot(0,95)^9\approx0,3151,
45\cdot(0,05)^2\cdot(0,95)^8\approx0,0746.
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\Pr(X\le2)\approx0,5987+0,3151+0,0746=0,9884,
\Pr(X>2)=1-0,9884\approx0,0116.

Resposta

(a) \Pr(X=0)=(0,95)^{10}\approx0,5987
(b) \Pr(X>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0,05)^k(0,95)^{10-k}\approx0,0116

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