Em uma cidade, durante um período de observação, verificou-se que o trânsito ficou engarrafado na hora do rush da manhã 30 \% das vezes. Nos dias em que o trânsito ficou engarrafado, um funcionário chegou 10% das vezes atrasado e nos dias de trânsito bom, ele chegou atrasado com frequência 1% das vezes. Certo dia o funcionário chegou atrasado, qual seria a possibilidade de ter chegado atrasado por causa do trânsito engarrafado?

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja E o evento “trânsito engarrafado” e \overline{E} o evento “trânsito bom”. Sabemos que
P(E)=0,3,\quad P(\overline{E})=0,7,
além de que o funcionário chega atrasado (evento A) com probabilidade condicional
P(A\mid E)=0,1,\quad P(A\mid \overline{E})=0,01.
Queremos calcular P(E\mid A), ou seja, a probabilidade de ter havido engarrafamento dado que ele chegou atrasado.

Passo 2

Usamos o Teorema da Probabilidade Total para obter P(A):
P(A)=P(A\mid E)\,P(E)+P(A\mid \overline{E})\,P(\overline{E})
P(A)=0,1\cdot0,3+0,01\cdot0,7=0,03+0,007=0,037.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Bayes:
P(E\mid A)=\frac{P(A\mid E)\,P(E)}{P(A)}=\frac{0,1\cdot0,3}{0,037}=\frac{0,03}{0,037}=\frac{30}{37}\approx0,8108.

Resposta

\displaystyle P(E\mid A)=\frac{30}{37}\approx0,81 (aprox. 81 %).

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