Ficou constatado que o aumento nas vendas de certo produto comercializado por certa empresa num certo mês pode ocorrer somente por uma das causas mutuamente exclusivas: ação de marketing, publicidade/propaganda, oscilações econômicas do pais e sazonalidade. A probabilidade de haver uma ação de marketing eficaz no mês é de 40 \%;de publicidade/propaganda, 30 \%; oscilações econômicas, 20 \%; e sazonalidade, 10 \%. Uma pesquisa mostrou que a probabilidade de haver aumento nas vendas do produto devido a uma ação de marketing eficaz é de 7 \% de publicidade/propaganda é de 7,5 \% de oscilações econômicas no país de 3 \% e de sazonalidade 2 \%. Em um dado mês, o incremento nas vendas foi considerável.
Calcule a probabilidade do aumento de vendas ser devido a ação de marketing.

Passo 1

Resumindo: temos quatro causas mutuamente exclusivas para o aumento de vendas – ação de marketing M, publicidade/propaganda P, oscilações econômicas E e sazonalidade S – com probabilidades P(M)=0,4, P(P)=0,3, P(E)=0,2 e P(S)=0,1. As probabilidades de aumento dado cada causa são P(A|M)=0,07, P(A|P)=0,075, P(A|E)=0,03 e P(A|S)=0,02. Queremos P(M|A), a probabilidade de que o aumento tenha sido devido a marketing, dado que houve aumento. Vamos aplicar o Teorema de Bayes, que requer antes calcular P(A) pela lei da probabilidade total.

Passo 2

Calcular a probabilidade total de aumento P(A) por lei total:
P(A) = P(A|M)\,P(M) + P(A|P)\,P(P) + P(A|E)\,P(E) + P(A|S)\,P(S).
Substituindo os valores:
P(A)=0,07\cdot0,4 \;+\;0,075\cdot0,3\;+\;0,03\cdot0,2\;+\;0,02\cdot0,1 =0,028 \;+\;0,0225\;+\;0,006\;+\;0,002 =0,0585.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Bayes para obter P(M|A):
P(M|A) =\frac{P(A|M)\,P(M)}{P(A)} =\frac{0,07\cdot0,4}{0,0585} \approx0,4786.

Resposta

A probabilidade de o aumento de vendas ser devido à ação de marketing é aproximadamente 47{,}86\%.

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