Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais, A, B e C. Sabe-se que: 15.000 leem o jornal A; 10.000 leem o jornal B; 8.000 leem o jornal C; 6.000 leem os jornais A e B; 4.000 leem os jornais A e C; 3.000 leem os jornais B e C; 1.000 leem os três jornais. Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que
(a) ela leia pelo menos um jornal?
(b) ela leia somente um jornal?

Passo 1

O enunciado informa que a população total é N=50000 e que existem três jornais A, B e C com as seguintes contagens de leitores: \lvert A\rvert=15000, \lvert B\rvert=10000, \lvert C\rvert=8000, \lvert A\cap B\rvert=6000, \lvert A\cap C\rvert=4000, \lvert B\cap C\rvert=3000, \lvert A\cap B\cap C\rvert=1000.
Vamos usar teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão para calcular o número de pessoas que leem pelo menos um jornal e o número que lê somente um jornal, e então dividir por N para obter as probabilidades.

Passo 2

Para ler pelo menos um jornal precisamos de \lvert A\cup B\cup C\rvert. Pelo princípio da inclusão-exclusão:
\lvert A\cup B\cup C\rvert =\lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert -\lvert A\cap B\rvert-\lvert A\cap C\rvert-\lvert B\cap C\rvert +\lvert A\cap B\cap C\rvert.
Substituindo os valores:
\lvert A\cup B\cup C\rvert =15000+10000+8000-6000-4000-3000+1000 =21000.

Passo 3

A probabilidade de que uma pessoa leia pelo menos um jornal é
P(\text{pelo menos 1})=\frac{\lvert A\cup B\cup C\rvert}{N} =\frac{21000}{50000}=0,42.

Passo 4

Para ler somente um jornal, calculamos \lvert A\text{ só}\rvertó, \lvert B\text{ só}\rvertó e \lvert C\text{ só}\rvertó:
\lvert A\text{ só}\rvert =\lvert A\rvert-\bigl(\lvert A\cap B\rvert+\lvert A\cap C\rvert-\lvert A\cap B\cap C\rvert\bigr) =15000-(6000+4000-1000)=6000,ó
\lvert B\text{ só}\rvert =10000-(6000+3000-1000)=2000,ó
\lvert C\text{ só}\rvert =8000-(4000+3000-1000)=2000.ó
Logo o total que lê exatamente um jornal é
6000+2000+2000=10000.

Passo 5

A probabilidade de que uma pessoa leia somente um jornal é
P(\text{só 1})=\frac{10000}{50000}=0,20.ó

Resposta

(a) 0,42
(b) 0,20

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