Mostre que
isto é, “o complementar da intersecção finita de conjuntos é igual à união finita dos complementares desse conjunto”, uma ideia apresentada por Augustus De Morgan.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a igualdade
que é a forma finita da lei de De Morgan para conjuntos. O que precisamos usar é a definição de complementar, de intersecção e de união de conjuntos:
-
significa que . -
significa que para todo . -
significa que existe algum tal que .
Passo 2
Provar
.
Seja .
Isso quer dizer que
Seja
Isso quer dizer que
ou seja, não é verdade que
para todo
. Logo existe um índice
tal que
Mas aí, pela definição,
. Logo
pertence à união
. Concluímos
e portanto
Passo 3
Provar
.
Seja .
Isso significa que existe algum com
Seja
Isso significa que existe algum
ou seja,
. Mas então não pode ser que
esteja em todos os
(pois falta estar em
), o que implica
Logo
, e assim
Passo 4
Como mostramos ambas inclusões
concluímos que há igualdade entre os dois conjuntos.