Mostre que
\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}
isto é, “o complementar da intersecção finita de conjuntos é igual à união finita dos complementares desse conjunto”, uma ideia apresentada por Augustus De Morgan.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a igualdade
\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} \;=\;\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c},
que é a forma finita da lei de De Morgan para conjuntos. O que precisamos usar é a definição de complementar, de intersecção e de união de conjuntos:
  • x\in A^{c} significa que x\notin A.
  • x\in \bigcap_{i=1}^n A_i significa que x\in A_i para todo i.
  • x\in \bigcup_{i=1}^n A_i significa que existe algum i tal que x\in A_i.

Passo 2

Provar \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Seja x\in \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}.
Isso quer dizer que
x\notin \bigcap_{i=1}^{n}A_{i},
ou seja, não é verdade que x\in A_i para todo i. Logo existe um índice j tal que
x\notin A_{j}.
Mas aí, pela definição, x\in A_{j}^{c}. Logo x pertence à união \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}. Concluímos
x\in \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c},
e portanto
\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

Passo 3

Provar \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}\subseteq \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}.
Seja x\in \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Isso significa que existe algum j com
x\in A_{j}^{c},
ou seja, x\notin A_{j}. Mas então não pode ser que x esteja em todos os A_i (pois falta estar em A_{j}), o que implica
x\notin \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}.
Logo x\in \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}, e assim
\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}\subseteq \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}.

Passo 4

Como mostramos ambas inclusões
\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c} \quad\text{e}\quad \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}\subseteq \bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c},
concluímos que há igualdade entre os dois conjuntos.

Resposta

\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} \;=\;\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

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