Um cilindro AB com diâmetro d_{A B}=8 \mathrm{~mm} e comprimento l_{A B}=200 \mathrm{~mm}, fixado ao teto, suporta uma carga F_{B}=1000 \mathrm{~N} em sua base, seção B. Outro cilindro, BC, com um diâmetro d_{B C}=5 \mathrm{~mm} e um comprimento de l_{B C}=100 \mathrm{~mm} é anexado ao cilindro AB na seção B , conforme mostrado na figura. Uma força de tração FC é aplicada a extremidade do segundo cilindro, na seção C. Considere o módulo de Young de ambos os cilindros E=50 \mathrm{GPa} e os pesos dos dois cilindros insignificantes.
  • Calcule a força F_{C}, em N , de forma que a magnitude do alongamento ( \mathrm{I}-\mathrm{I}_{0} ) de ambos os cilindros sejam iguais.
  • Quais são as tensões, \sigma_{A B} e \sigma_{B C} em MPa, e as deformações, \varepsilon_{A B} e \varepsilon_{B C} nos cilindros para este valor de \mathrm{F}_{C} ?

Passo 1

O problema envolve dois cilindros em série sujeitos a cargas axiais: o cilindro AB (diâmetro d_{AB}=8\,\text{mm}, comprimento l_{AB}=200\,\text{mm}) está fixo no teto e recebe na base B uma força F_{B}=1000\,\text{N} de tração. O cilindro BC (diâmetro d_{BC}=5\,\text{mm}, comprimento l_{BC}=100\,\text{mm}) está preso em B e recebe em C uma força F_{C} de tração. Queremos escolher F_{C} de modo que o alongamento de AB e de BC tenha a mesma magnitude. Usaremos a relação da elasticidade linear (Lei de Hooke) para deformação axial:
\delta = \frac{F\,l}{A\,E},
além de
\sigma = \frac{F}{A}, \quad \varepsilon = \frac{\sigma}{E}.

Passo 2

Calcular as áreas das seções transversais de cada cilindro.
A área de um círculo de diâmetro d é
A = \frac{\pi}{4}\,d^2.
Portanto,
A_{AB} = \frac{\pi}{4}\,(8\,\text{mm})^2 = 16\pi\;\text{mm}^2, \qquad A_{BC} = \frac{\pi}{4}\,(5\,\text{mm})^2 = 6{,}25\pi\;\text{mm}^2.

Passo 3

Escrever os alongamentos \delta_{AB} e \delta_{BC} e igualá-los em módulo:
\delta_{AB} = \frac{F_{B}\,l_{AB}}{A_{AB}\,E}, \qquad \delta_{BC} = \frac{F_{C}\,l_{BC}}{A_{BC}\,E}.
Para \delta_{AB} = \delta_{BC} tem-se
\frac{1000 \cdot 200}{16\pi \cdot E} = \frac{F_{C}\cdot 100}{6{,}25\pi \cdot E} \quad\Longrightarrow\quad F_{C} = 1000 \cdot \frac{200}{100}\cdot \frac{6{,}25\pi}{16\pi} = 1000 \times 2 \times \frac{6{,}25}{16} = 781{,}25\;\text{N}.

Passo 4

Calcular as tensões nos dois cilindros usando \sigma = F/A:
\sigma_{AB} = \frac{1000}{16\pi} \approx 19{,}89\;\text{N/mm}^2 = 19{,}89\;\text{MPa}, \qquad \sigma_{BC} = \frac{781{,}25}{6{,}25\pi} \approx 39{,}78\;\text{MPa}.

Passo 5

Calcular as deformações em cada cilindro via \varepsilon=\sigma/E, com E=50\,\text{GPa}=5\times10^{4}\,\text{N/mm}^2:
\varepsilon_{AB} = \frac{19{,}89}{5\times10^{4}} =3{,}978\times10^{-4}, \qquad \varepsilon_{BC} = \frac{39{,}78}{5\times10^{4}} =7{,}956\times10^{-4}.

Resposta

F_{C}\approx 781{,}3\;\text{N} \sigma_{AB}\approx 19{,}9\;\text{MPa},\quad \sigma_{BC}\approx 39{,}8\;\text{MPa} \varepsilon_{AB}\approx 3{,}98\times10^{-4},\quad \varepsilon_{BC}\approx 7{,}96\times10^{-4}

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