Resolva as seguintes integrais indefinidas, everifique sua resposta derivando a funçio encontrada.
5 x \sqrt{4-3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 5x\sqrt{4-3x^{2}}\,dx
e depois verificar a resposta derivando a função obtida. O conteúdo é integração por substituição: vamos usar u=4-3x^2, porque sua derivada é proporcional a x\,dx.

Passo 2

Definimos
u = 4 - 3x^{2}
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du = -6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{6}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
\int 5x\sqrt{4-3x^{2}}\,dx = 5\int \sqrt{u}\,\bigl(x\,dx\bigr) = 5\int u^{1/2}\,\Bigl(-\tfrac{1}{6}du\Bigr) = -\tfrac{5}{6}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\tfrac{5}{6}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{5}{6}\cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = -\tfrac{5}{6}\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} = -\tfrac{5}{9}\,u^{3/2}.
Voltando a x, obtemos a primitiva
F(x) = -\tfrac{5}{9}\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{3/2} + C.

Passo 5

Verificação derivando F(x):
\frac{d}{dx}\! \Bigl[-\tfrac{5}{9}(4-3x^{2})^{3/2}\Bigr] = -\tfrac{5}{9}\cdot \tfrac{3}{2}(4-3x^{2})^{1/2}\cdot(-6x) = 5x\,(4-3x^{2})^{1/2},
que é exatamente o integrando original. Portanto, está correto.

Resposta

-\frac{5}{9}\bigl(4-3x^{2}\bigr)^{3/2} + C.

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