Resolva as seguintes integrais indefinidas, everifique sua resposta derivando a funçio encontrada.
5 x^{3} e^{5 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 5\,x^{3}e^{5x^{4}}\,dx
e em seguida verificar a resposta derivando a função obtida. O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais, pois vemos uma composição exponencial de x^{4}.

Passo 2

Fazemos a substituição conveniente
u = 5x^{4}.
Diferenciando ambos os lados,
du = 20\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{20}.
Assim,
5\,x^{3}\,dx = 5\cdot\frac{du}{20} = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int 5\,x^{3}e^{5x^{4}}\,dx = \int \frac{1}{4}e^{u}\,du = \frac{1}{4}\int e^{u}\,du = \frac{1}{4}e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, a primitiva fica
\frac{1}{4}e^{5x^{4}} + C.

Passo 5

Verificação por derivação: calculamos
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{5x^{4}}\Bigr) = \tfrac{1}{4}\,e^{5x^{4}}\cdot\frac{d}{dx}(5x^{4}) = \tfrac{1}{4}\,e^{5x^{4}}\cdot(20x^{3}) =5x^{3}e^{5x^{4}},
que coincide com o integrando. Portanto, a resposta está correta.

Resposta

\frac{1}{4}e^{5x^{4}} + C

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