- Um cilindro infinito de raio
é percorrido por uma corrente superficial
, onde
é uma constante. Usando a lei de Biot-Savart, mostre que o campo magnético é dado por
Dica: use coordenadas cilíndricas e escolha
como ponto de medida do campo. Para as integrais, use
. Note que, se escrevermos
, este resultado é o mesmo que encontramos em sala (usando a lei de Ampère) para um solenoide infinito com
voltas por comprimento e corrente
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o campo magnético gerado por um cilindro infinito de raio
Informações e escolhas dadas:
- A geometria é cilíndrica e o cilindro é infinito ao longo do eixo
(corrente circulando ao redor do eixo, em cada altura
).
- Vou avaliar o campo no ponto, isto é, no plano no eixo angular (eixo na representação cartesiana).
- A dica fornece uma integral útil:(válida se ).]
Passo 2
Apresentar e explicar a fórmula que iremos usar (Biot–Savart para correntes de superfície).
A lei de Biot–Savart para uma corrente superficial
sobre uma superfície
pode ser escrita como
Explicando cada termo:
-
é o ponto onde queremos o campo. -
é a posição de um elemento de superfície sobre o qual integramos. -
é o vetor separação entre observador e elemento de corrente. -
é o elemento de área da superfície condutora. -
tem unidades de ampère por metro ( ); ao multiplicar por obtemos a contribuição de uma faixa de corrente sobre a superfície.
Vamos aplicar essa fórmula ao cilindro.
Passo 3
Escolha coordenadas e escreva vetores de posição e elementos de superfície.
Usamos coordenadas cilíndricas com base unitária
para os pontos de fonte
. Para um ponto sobre a superfície do cilindro temos
onde
e
. O observador foi escolhido em
(isto é,
,
). O vetor separação é
O elemento de área da casca cilíndrica é
. A densidade de corrente é
.
Substituindo na fórmula de Biot–Savart:
Passo 4
Calcule o produto vetorial
de forma explícita (passo importante, mas puramente algébrico).
Escrevendo
e
em componentes cartesianas e efetuando o produto vetorial obtém-se (mostro a forma compacta útil):
Comentário sobre essa expressão:
- O termo proporcional a
está na direção (radial local). - O outro termo está na direção
(eixo do cilindro).
Portanto, a integranda tem componentes radial e axial; vamos analisar simetrias para simplificar.
Passo 5
Use simetria para eliminar componentes e identifique a componente não-nula.
A densidade
e a geometria (cilindro infinito, corrente só azimutal, integração completa em
e simetria em
) implicam:
- A componente radial (proporcional a
) contém um fator no numerador enquanto o denominador depende de . Assim a integração em de (com independente de ) é zero por ser uma função ímpar em integrada simetricamente de a . Logo a componente radial se anula. - Não há componente azimutal na expressão do produto vetorial acima.
Logo só resta a componente axial (). Assim podemos escrever
com
Passo 6
Fazer a integral em
(padrão) e simplificar.
Defina
Então a integral em
que aparece é do tipo
Este é um integral padrão; uma forma rápida de lembrá-lo é usar a substituição
ou consultar tabelas. O resultado é
Portanto a expressão para
torna-se
Simplificando o fator
:
Passo 7
Avaliar a integral em
usando a identidade fornecida.
Chamemos
e
. Então o denominador é
. Vamos separar a integral:
A primeira integral é da forma dada na dica:
Para a segunda integral
usamos a identidade útil
que implica
Integrando de
a
:
Substituindo em
obtemos
Passo 8
Simplificar a expressão usando
,
e a identidade sobre
.
Lembre que
e
. Calcule
E
Também note que a identidade da dica com
e
dá
e
logo
. Assim
Substituindo tudo na expressão para
:
Multiplicando e simplificando:
Substituindo
:
Portanto
Passo 9
Interprete o resultado do sinal para os dois casos
e
.
A função sinal aparece com
:
- Se
então e . Assim
- Se
então e . Assim
O caso limite
pode ser tratado tomando limite; o campo sofre a mudança de valor no contorno (efeito típico de folhas de corrente), mas o enunciado pede os campos dentro e fora, conforme acima.