1. Um cilindro infinito de raio R é percorrido por uma corrente superficial K=K_{0} \varphi, onde K_{0} é uma constante. Usando a lei de Biot-Savart, mostre que o campo magnético é dado por
\vec{B}=\left\{\begin{array}{ll} \mu_{0} K \hat{z} & s<R, \\\ \overrightarrow{0} & s>R . \end{array}\right.
Dica: use coordenadas cilíndricas e escolha \vec{r}=(s, 0,0) como ponto de medida do campo. Para as integrais, use \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{a+b \cos \varphi}=2 \pi / \sqrt{a^{2}-b^{2}}. Note que, se escrevermos K_{0}=n I, este resultado é o mesmo que encontramos em sala (usando a lei de Ampère) para um solenoide infinito com n voltas por comprimento e corrente I.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o campo magnético gerado por um cilindro infinito de raio R\) que tem uma corrente superficial azimutal dada por \(\vec{K}=K_{0}\,\hat{\varphi}\), onde \(K_{0}\) é constante. O resultado a obter é \[\vec{B}=\begin{cases} \mu_{0}K_{0}\,\hat{z}, & s<R,\\[4pt] \vec{0}, & s>R. \end{cases}
Informações e escolhas dadas:
  • A geometria é cilíndrica e o cilindro é infinito ao longo do eixo z\]. - A densidade de corrente superficial é \(\vec{K}(\vec{r}')=K_{0}\,\hat{\varphi}' (corrente circulando ao redor do eixo, em cada altura z').
    - Vou avaliar o campo no ponto \vec{r}=(s,0,0), isto é, no plano z=0 no eixo angular \varphi=0 (eixo x na representação cartesiana).
    - A dica fornece uma integral útil: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi}{a+b\cos\varphi}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} (válida se a>|b|).]

Passo 2

Apresentar e explicar a fórmula que iremos usar (Biot–Savart para correntes de superfície).
A lei de Biot–Savart para uma corrente superficial \vec{K}(\vec{r}') sobre uma superfície S pode ser escrita como
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{S}\frac{\vec{K}(\vec{r}')\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}}\,dS'.
Explicando cada termo:
  • \vec{r} é o ponto onde queremos o campo.
  • \vec{r}' é a posição de um elemento de superfície sobre o qual integramos.
  • \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}' é o vetor separação entre observador e elemento de corrente.
  • dS' é o elemento de área da superfície condutora.
  • \vec{K}(\vec{r}') tem unidades de ampère por metro ( \mathrm{A/m}); ao multiplicar por dS' obtemos a contribuição de uma faixa de corrente sobre a superfície.
    Vamos aplicar essa fórmula ao cilindro.

Passo 3

Escolha coordenadas e escreva vetores de posição e elementos de superfície.
Usamos coordenadas cilíndricas com base unitária (\hat{s}',\hat{\varphi}',\hat{z}) para os pontos de fonte \vec{r}'. Para um ponto sobre a superfície do cilindro temos
\vec{r}'=R\,\hat{s}'+z'\,\hat{z},
onde \hat{s}'=\cos\varphi'\,\hat{x}+\sin\varphi'\,\hat{y} e \hat{\varphi}'=-\sin\varphi'\,\hat{x}+\cos\varphi'\,\hat{y}. O observador foi escolhido em \vec{r}=s\,\hat{x} (isto é, \varphi=0, z=0). O vetor separação é
\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'=s\,\hat{x}-R\,\hat{s}'-z'\,\hat{z}.
O elemento de área da casca cilíndrica é dS'=R\,d\varphi'\,dz'. A densidade de corrente é \vec{K}=K_{0}\,\hat{\varphi}'.
Substituindo na fórmula de Biot–Savart:
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\!\int_{0}^{2\pi} \frac{K_{0}\,\hat{\varphi}'\times\vec{R}}{|\vec{R}|^{3}}\,R\,d\varphi'\,dz'.

Passo 4

Calcule o produto vetorial \hat{\varphi}'\times\vec{R} de forma explícita (passo importante, mas puramente algébrico).
Escrevendo \hat{\varphi}' e \vec{R} em componentes cartesianas e efetuando o produto vetorial obtém-se (mostro a forma compacta útil):
\hat{\varphi}'\times\vec{R}=-z'\,\hat{s}'+\bigl(R-s\cos\varphi'\bigr)\hat{z}.
Comentário sobre essa expressão:
  • O termo proporcional a -z' está na direção \hat{s}' (radial local).
  • O outro termo está na direção \hat{z} (eixo do cilindro).
    Portanto, a integranda tem componentes radial e axial; vamos analisar simetrias para simplificar.

Passo 5

Use simetria para eliminar componentes e identifique a componente não-nula.
A densidade \vec{K} e a geometria (cilindro infinito, corrente só azimutal, integração completa em \varphi' e simetria em z') implicam:
  • A componente radial (proporcional a -z'\,\hat{s}') contém um fator z' no numerador enquanto o denominador depende de z'^{2}. Assim a integração em z' de -z'/(A+z'^{2})^{3/2} (com A independente de z') é zero por ser uma função ímpar em z' integrada simetricamente de -\infty a +\infty. Logo a componente radial se anula.
  • Não há componente azimutal na expressão do produto vetorial acima.
    Logo só resta a componente axial ( \hat{z}). Assim podemos escrever
\vec{B}(\vec{r})=B_{z}(s)\,\hat{z},
com
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}R}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{R-s\cos\varphi'}{\bigl(s^{2}+R^{2}-2sR\cos\varphi'+z'^{2}\bigr)^{3/2}}\,dz'\,d\varphi'.

Passo 6

Fazer a integral em z' (padrão) e simplificar.
Defina
A(\varphi')\equiv s^{2}+R^{2}-2sR\cos\varphi'.
Então a integral em z' que aparece é do tipo
I_{z}(\varphi')=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{\bigl(A+z'^{2}\bigr)^{3/2}}.
Este é um integral padrão; uma forma rápida de lembrá-lo é usar a substituição z'=A^{1/2}\tan\theta ou consultar tabelas. O resultado é
I_{z}(\varphi')=\frac{2}{A(\varphi')}.
Portanto a expressão para B_{z} torna-se
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}R}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\bigl(R-s\cos\varphi'\bigr)\cdot\frac{2}{A(\varphi')}\,d\varphi'.
Simplificando o fator 2:
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}R}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{R-s\cos\varphi'}{s^{2}+R^{2}-2sR\cos\varphi'}\,d\varphi'.

Passo 7

Avaliar a integral em \varphi' usando a identidade fornecida.
Chamemos a=s^{2}+R^{2} e b=2sR. Então o denominador é a-b\cos\varphi'. Vamos separar a integral:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R-s\cos\varphi'}{a-b\cos\varphi'}\,d\varphi' =R\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{a-b\cos\varphi'}-s\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\varphi'\,d\varphi'}{a-b\cos\varphi'}.
A primeira integral é da forma dada na dica:
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\varphi'}{a-b\cos\varphi'}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}.
Para a segunda integral I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\varphi'\,d\varphi'}{a-b\cos\varphi'} usamos a identidade útil
\cos\varphi'=\frac{a-(a-b\cos\varphi')}{b}=\frac{a}{b}-\frac{1}{b}\bigl(a-b\cos\varphi'\bigr),
que implica
\frac{\cos\varphi'}{a-b\cos\varphi'}=\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{a-b\cos\varphi'}-\frac{1}{b}.
Integrando de 0 a 2\pi:
I_{2}=\frac{a}{b}I_{1}-\frac{1}{b}\int_{0}^{2\pi}d\varphi' =\frac{a}{b}I_{1}-\frac{2\pi}{b}.
Substituindo em R I_{1}-s I_{2} obtemos
\int_{0}^{2\pi}\frac{R-s\cos\varphi'}{a-b\cos\varphi'}\,d\varphi' =R I_{1}-s\Bigl(\frac{a}{b}I_{1}-\frac{2\pi}{b}\Bigr) =\Bigl(R-\frac{s a}{b}\Bigr)I_{1}+\frac{2\pi s}{b}.

Passo 8

Simplificar a expressão usando a, b e a identidade sobre I_{1}.
Lembre que a=s^{2}+R^{2} e b=2sR. Calcule
R-\frac{s a}{b}=R-\frac{s(s^{2}+R^{2})}{2sR} =R-\frac{s^{2}+R^{2}}{2R}=\frac{R^{2}-s^{2}}{2R}.
E
\frac{2\pi s}{b}=\frac{2\pi s}{2sR}=\frac{\pi}{R}.
Também note que a identidade da dica com a e b
I_{1}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}
e
a^{2}-b^{2}=(s^{2}+R^{2})^{2}-(2sR)^{2}=(s^{2}-R^{2})^{2},
logo \sqrt{a^{2}-b^{2}}=|s^{2}-R^{2}|. Assim
I_{1}=\frac{2\pi}{|s^{2}-R^{2}|}.
Substituindo tudo na expressão para B_{z}:
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}R}{2\pi}\Biggl[\Bigl(\frac{R^{2}-s^{2}}{2R}\Bigr)I_{1}+\frac{\pi}{R}\Biggr].
Multiplicando e simplificando:
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2\pi}\Biggl[\frac{R^{2}-s^{2}}{2}\,I_{1}+\pi\Biggr].
Substituindo I_{1}=2\pi/|s^{2}-R^{2}|:
\frac{R^{2}-s^{2}}{2}\,I_{1}=\frac{R^{2}-s^{2}}{2}\cdot\frac{2\pi}{|s^{2}-R^{2}|} =\pi\cdot\frac{R^{2}-s^{2}}{|R^{2}-s^{2}|}=\pi\;\mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2}).
Portanto
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2\pi}\bigl[\pi\,\mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2})+\pi\bigr] =\frac{\mu_{0}K_{0}}{2}\bigl[1+\mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2})\bigr].

Passo 9

Interprete o resultado do sinal para os dois casos s<R e s>R.
A função sinal aparece com \mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2}):
  • Se s<R então R^{2}-s^{2}>0 e \mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2})=+1. Assim
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2}[1+1]=\mu_{0}K_{0}.
  • Se s>R então R^{2}-s^{2}<0 e \mathrm{sgn}(R^{2}-s^{2})=-1. Assim
B_{z}(s)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2}[1-1]=0.
O caso limite s=R pode ser tratado tomando limite; o campo sofre a mudança de valor no contorno (efeito típico de folhas de corrente), mas o enunciado pede os campos dentro e fora, conforme acima.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\begin{cases}\displaystyle \mu_{0}K_{0}\,\hat{z}, & s<R,\\[6pt]\displaystyle \vec{0}, & s>R.\end{cases}]

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