1. Use a lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético em um ponto do eixo z no centro de uma espira quadrada de lados 2 a sobre o plano x y. Verifique que sua resposta se aproxima do campo de um dipolo quando z \gg 2 a. (Resposta: \vec{B}=\frac{2 \mu_{0} I a^{2}}{\pi} \frac{\hat{z}}{\left(z^{2}+a^{2}\right) \sqrt{z^{2}+2 a^{2}}} )

Passo 1

O enunciado pede que eu use a lei de Biot–Savart para achar o campo magnético em um ponto sobre o eixo z no centro de uma espira quadrada de lado 2a (espira no plano xy), e que eu mostre que, quando z\gg 2a, o resultado se aproxima do campo de um dipolo magnético.
Informações relevantes dadas (peguei estas da figura):
  • A espira é um quadrado centrado na origem com vértices em (\pm a,\pm a,0).
  • O lado tem comprimento 2a.
  • A corrente que percorre a espira tem intensidade I.
  • O ponto onde quero o campo é P=(0,0,z) no eixo z.
    As metas concretas:
  • Calcular \vec{B}(0,0,z) usando Biot–Savart.
  • Mostrar o limite assintótico para z\gg 2a e comparar com o campo de dipolo.

Passo 2

Lembrete da lei de Biot–Savart (a “aula rápida”): para uma corrente estacionária I distribuída ao longo de um fio, o campo magnético num ponto \vec{r} é
\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{d\vec{\ell}'\times (\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^{3}},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo,
  • \vec{r}' é o vetor posição de cada elemento de fio d\vec{\ell}',
  • \vec{r} é o vetor posição do ponto onde se calcula \vec{B}.
    Explicando: o integrando diz que cada pequeno pedaço de corrente cria um pequeno campo cuja direção é dada por d\vec{\ell}'\times(\vec{r}-\vec{r}') e cuja magnitude cai como o cubo da distância.

Passo 3

Usarei simetria: as quatro arestas do quadrado contribuem com o mesmo módulo para a componente ao longo de z em P, e as componentes horizontais (em x e y) se cancelam por simetria. Portanto basta calcular a contribuição da aresta superior (paralela a x, em y=+a, de x'=-a a x'=+a) e multiplicar por 4. Vou explicitamente calcular a componente B_z dessa aresta.

Passo 4

Posições e elementos para a aresta em y=+a:
  • Ponto onde quero o campo: \vec{r}=(0,0,z).
  • Elemento de fio: para a aresta paralela a x, parametro x' e d\vec{\ell}'=dx'\,\hat{x}.
  • Posição do elemento: \vec{r}'=(x',a,0).
  • Vetor da fonte ao ponto: \vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'=(-x')\hat{x}-a\hat{y}+z\hat{z}.
  • R\equiv|\vec{R}|=\sqrt{x'^{2}+a^{2}+z^{2}}.
    Agora o produto vetorial:
d\vec{\ell}'\times \vec{R} = dx'\,\hat{x}\times\big(-x'\hat{x}-a\hat{y}+z\hat{z}\big).
Como \hat{x}\times\hat{x}=0, \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}, obtemos
d\vec{\ell}'\times \vec{R}=dx'\big(-a\hat{z}-z\hat{y}\big).
Isso mostra que este elemento gera componentes em \hat{z} e \hat{y}. Por simetria, ao somar a aresta em y=+a com a aresta oposta em y=-a as componentes \hat{y} se cancelam, enquanto as componentes \hat{z} se somam (o mesmo ocorre com as arestas paralelas a y). Portanto posso focar na componente z do integrando.

Passo 5

A componente z do campo gerada pelo elemento é
dB_z=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{(-a)\,dx'}{(x'^{2}+a^{2}+z^{2})^{3/2}}.
(Observe o sinal: o sinal global depende do sentido da corrente; aqui estou computando o módulo com o sinal saindo diretamente da álgebra do produto vetorial. No final escolhemos a direção \hat{z} consistente com o sentido de I.)
Integro x' de -a a +a para obter a contribuição total da aresta superior:
B_{z}^{(\text{aresta})}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}(-a)\int_{-a}^{+a}\frac{dx'}{(x'^{2}+c^{2})^{3/2}},
onde defini c^{2}=a^{2}+z^{2} para simplificar.

Passo 6

Agora calculo a integral. A primitiva conhecida (e fácil de checar derivando) é
\int\frac{dx}{(x^{2}+c^{2})^{3/2}}=\frac{x}{c^{2}\sqrt{x^{2}+c^{2}}}+C.
Aplicando os limites -a a +a,
\int_{-a}^{+a}\frac{dx'}{(x'^{2}+c^{2})^{3/2}} =\left.\frac{x'}{c^{2}\sqrt{x'^{2}+c^{2}}}\right|_{-a}^{+a} =\frac{2a}{c^{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}}.
Lembrando que c^{2}=a^{2}+z^{2}, temos a^{2}+c^{2}=2a^{2}+z^{2}. Portanto
\int_{-a}^{+a}\frac{dx'}{(x'^{2}+a^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{2a}{(a^{2}+z^{2})\sqrt{2a^{2}+z^{2}}}.

Passo 7

Substituindo na expressão para B_{z}^{(\text{aresta})}:
B_{z}^{(\text{aresta})}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}(-a)\cdot\frac{2a}{(a^{2}+z^{2})\sqrt{2a^{2}+z^{2}}} =-\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{2a^{2}}{(a^{2}+z^{2})\sqrt{2a^{2}+z^{2}}}.
Esse é o contributo da aresta em y=+a. Pelas razões de simetria as quatro arestas contribuem com o mesmo módulo dessa componente z; somando as quatro contribuições (e observando o sinal que depende do sentido de I) obtemos o campo total no eixo z:
B_{z,\text{total}}=4\cdot B_{z}^{(\text{aresta})} =-4\cdot\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{2a^{2}}{(a^{2}+z^{2})\sqrt{2a^{2}+z^{2}}}.
Simplificando:
B_{z,\text{total}}=-\frac{2\mu_0 I a^{2}}{\pi}\cdot\frac{1}{(a^{2}+z^{2})\sqrt{2a^{2}+z^{2}}}.

Passo 8

Escolhendo a orientação de \hat{z} de acordo com o sentido positivo do campo (ou seja, tomando o sinal apropriado conforme o sentido da corrente na figura), escrevo o resultado vetorial no formato usual:
\vec{B}(0,0,z)=\frac{2\mu_0 I a^{2}}{\pi}\frac{\hat{z}}{(z^{2}+a^{2})\sqrt{z^{2}+2a^{2}}}.
(Esse resultado tem a mesma forma, apenas com o sinal ajustado segundo o sentido de I; a magnitude é a que aparece na dedução anterior.)

Passo 9

Agora a verificação do limite dipolar para z\gg 2a. Para z grande posso aproximar:
z^{2}+a^{2}\approx z^{2},\qquad \sqrt{z^{2}+2a^{2}}\approx z\sqrt{1+\frac{2a^{2}}{z^{2}}}\approx z\left(1+\frac{a^{2}}{z^{2}}\right)\approx z.
Logo, a expressão para B_z tende a
B_z\approx\frac{2\mu_0 I a^{2}}{\pi}\frac{1}{z^{2}\cdot z}=\frac{2\mu_0 I a^{2}}{\pi z^{3}}.
O momento dipolar magnético da espira é \vec{m}=I\,\text{área}\,\hat{z}=I(2a)^{2}\hat{z}=4I a^{2}\hat{z}á. O campo de um dipolo magnético no eixo é
B_{z}^{(\text{dip})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{z^{3}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2(4I a^{2})}{z^{3}}=\frac{2\mu_0 I a^{2}}{\pi z^{3}},
que coincide exatamente com a aproximação anterior. Assim, no limite z\gg 2a o campo se comporta como o de um dipolo com momento \vec{m}=4I a^{2}\hat{z}.

Passo 10

Resumo pedagógico rápido: a técnica foi dividir o problema nas arestas, usar Biot–Savart para uma aresta reta finita, perceber que só a componente z sobrevive por simetria e calcular uma integral padrão. A integral usada tem primitiva simples e permite fechar a conta de forma algébrica.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=\frac{2\mu_{0} I a^{2}}{\pi}\,\frac{\hat{z}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)\sqrt{z^{2}+2a^{2}}}

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