Um cilindro longo com 10 cm de diâmetro tem sua superfície externa mantida a 110^{\circ} \mathrm{C} devido ao escoamento de vapor em seu interior. Sua superfície externa está exposta a uma corrente de ar com 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 10^{\circ} \mathrm{C}.
Utilizando a equação de Churchill e Bernstein a seguir, calcule qual a taxa de energia é perdida por metro de cilindro para o ar? ( 1093 \mathrm{~W} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado pede a taxa de energia perdida por metro de um cilindro longo (perda por convecção para o ar), sabendo que a superfície externa do cilindro está a 110^\circ\mathrm{C} e o ar ambiente a 10^\circ\mathrm{C} com velocidade 8\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos:
\text{Diâmetro: } D = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}â
\text{Temperatura da superfície: } T_s = 110^\circ\mathrm{C}í
\text{Temperatura do ar (ambiente): } T_\infty = 10^\circ\mathrm{C}
\text{Velocidade do ar: } U_\infty = 8\\ \mathrm{m/s}
A equação indicada no enunciado é a correlação de Churchill e Bernstein para escoamento externo sobre um cilindro (usar essa correlação para estimar o coeficiente convectivo h e então calcular a taxa de perda por metro).

Passo 2

Apresento a correlação de Churchill e Bernstein (forma padrão) e explico cada termo. A correlação dá o número de Nusselt adimensional baseado em D:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left(1 + \left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Pr}}\right)^{2/3}\right)^{1/4}} \left(1 + \left(\dfrac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right)^{4/5}
Explicação dos símbolos:
\mathrm{Nu}_D = \frac{h D}{k}
\mathrm{Re}_D = \frac{U_\infty D}{\nu}
\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}
onde
  • h é o coeficiente convectivo em \mathrm{W/(m^2\,K)};
  • D é o diâmetro do cilindro em \mathrm{m};
  • k é a condutividade térmica do ar em \mathrm{W/(m\,K)};
  • \nu é a viscosidade cinemática do ar em \mathrm{m^2/s};
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl (adimensional);
  • U_\infty é a velocidade livre do ar em \mathrm{m/s}.
Usaremos esta correlação para obter \mathrm{Nu}_D, depois h e finalmente a taxa de calor por metro:
\dot q' = h \, (\text{área superficial por metro}) \, (T_s - T_\infty).á
A área superficial por metro de comprimento do cilindro é a circunferência:
A' = \pi D \quad (\mathrm{m^2\\ por\\ m})

Passo 3

Escolha das propriedades do ar: calcula-se as propriedades no que se chama temperatura de filme,
T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} = \frac{110 + 10}{2} = 60^\circ\mathrm{C}.
A partir de tabelas padrão de propriedades do ar (valores típicos a 60^\circ\mathrm{C}), tomamos aproximações razoáveis:
k = 0{,}0286\\ \mathrm{W/(m\,K)}\quad(\text{condutividade térmica}),é
\nu = 1{,}93\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}\quad(\text{viscosidade cinemática}),á
\mathrm{Pr} = 0{,}707\quad(\text{número de Prandtl}).ú
Obs.: esses valores são obtidos de tabelas de propriedades de ar a T_f=60^\circ\mathrm{C}. Em provas use a tabela dada; pequenas variações nas propriedades alteram um pouco o resultado final.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds com os valores escolhidos:
\mathrm{Re}_D = \frac{U_\infty D}{\nu} = \frac{8\cdot 0{,}10}{1{,}93\times 10^{-5}}.
Faço a conta passo a passo:
8\cdot 0{,}10 = 0{,}8,
\mathrm{Re}_D = \frac{0{,}8}{1{,}93\times 10^{-5}} \approx 4{,}145\times 10^{4}.

Passo 5

Agora aplicamos a correlação de Churchill–Bernstein. Primeiro calculo os termos intermediários.
  1. \mathrm{Re}_D^{1/2}:
\mathrm{Re}_D^{1/2} \approx \sqrt{4{,}145\times 10^{4}} \approx 203{,}6.
  1. \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Pr}^{1/3} \approx 0{,}707^{1/3} \approx 0{,}89.
  1. Calculo do numerador da fração principal:
0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3} \approx 0{,}62\times 203{,}6\times 0{,}89 \approx 112{,}4.
  1. Calculo do denominador dentro dessa fração:
\left(1 + \left(\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Pr}}\right)^{2/3}\right)^{1/4}.
Calculo interno:
\dfrac{0{,}4}{\mathrm{Pr}} = \dfrac{0{,}4}{0{,}707} \approx 0{,}566,
\left(0{,}566\right)^{2/3} \approx 0{,}684,
1 + 0{,}684 = 1{,}684,
(1{,}684)^{1/4} \approx 1{,}14.
Logo a fração vale aproximadamente:
\frac{112{,}4}{1{,}14} \approx 98{,}7.
  1. Agora o fator final:
\left(1 + \left(\dfrac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right)^{4/5}.
Calculo interno:
\dfrac{\mathrm{Re}_D}{282000} \approx \dfrac{4{,}145\times 10^{4}}{2{,}82\times 10^{5}} \approx 0{,}147,
(0{,}147)^{5/8} \approx 0{,}301,
1 + 0{,}301 = 1{,}301,
(1{,}301)^{4/5} \approx 1{,}235.
  1. Multiplico tudo:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}3 + 98{,}7 \times 1{,}235 \approx 0{,}3 + 121{,}9 \approx 122{,}2.

Passo 6

Com \mathrm{Nu}_D obtido, calcule h:
\mathrm{Nu}_D = \frac{h D}{k} \;\Rightarrow\; h = \frac{\mathrm{Nu}_D\, k}{D}.
Substituindo:
h \approx \frac{122{,}2 \times 0{,}0286}{0{,}10} = 122{,}2 \times 0{,}286 \approx 34{,}96\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.

Passo 7

Calcular a taxa de calor por metro de cilindro. A área superficial por metro é A'=\pi D:
A' = \pi D = \pi \times 0{,}10 \approx 0{,}31416\\ \mathrm{m^2\\ por\\ m}.
A diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 110 - 10 = 100\\ \mathrm{K}.
Então a taxa por metro é:
\dot q' = h \, A' \, \Delta T \approx 34{,}96 \times 0{,}31416 \times 100.
Calculo:
34{,}96 \times 0{,}31416 \approx 10{,}98,
\dot q' \approx 10{,}98 \times 100 = 1{,}098\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando e considerando pequenas variações nas propriedades usadas, isso resulta aproximadamente em 1{,}09\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m}, valor consistente com 1093\\ \mathrm{W/m} indicado no enunciado.

Passo 8

Resumo didático rápido de como fazer na prova:
  • Calcule a temperatura de filme T_f e consulte tabela para k,\\ \nu,\\ \mathrm{Pr} em T_f.
  • Calcule \mathrm{Re}_D = U_\infty D/\nu.
  • Avalie a correlação de Churchill–Bernstein passo a passo (os três fatores mostrados) para obter \mathrm{Nu}_D.
  • Use h = \mathrm{Nu}_D\,k/D.
  • Calcule \dot q' = h\,\pi D\,(T_s-T_\infty).
    Siga as contas com atenção às unidades (m, s, K) e use arredondamento razoável.

Resposta

1093 W/m

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