Suponha uma tubulação cuja parede tenha a forma de uma casca cilíndrica com raio interno R_{1}=0,985 m e raio externo R_{2}=1,000 \mathrm{~m}. A área da superfície externa da tubulação é \mathrm{A}=23 \mathrm{~m}^{2}.
A temperatura da superfície interna do tubo é T_ 1=206^{\circ} \mathrm{C} e da superfície externa é T_ 2=37^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é k=18 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Determine a carga térmica Q’ que atravessa radialmente a parede da tubulação.
Resposta: \square

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Raio interno: R_{1}=0,985\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo: R_{2}=1,000\\ \mathrm{m}.
  • Área da superfície externa da tubulação: A=23\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura na superfície interna: T_{1}=206^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície externa: T_{2}=37^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do material: k=18\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Determinar a carga térmica (fluxo de calor) Q' que atravessa radialmente a parede da tubulação (ou seja, a potência térmica em watts atravessando a espessura cilíndrica).

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial (passo-a-passo didático):
  • Em regime estacionário, o fluxo de calor radial Q através de uma casca cilíndrica de comprimento L é constante com r. A Lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial, escreve-se localmente como
q_r = -k\,\frac{dT}{dr},
onde q_r é a densidade de fluxo térmico (W/m²) na superfície de raio r.
  • A área através da qual o calor atravessa à distância r é a área lateral da casca de raio r e comprimento L:
A_r = 2\pi r L.
  • A potência térmica total é Q = q_r A_r. Substituindo,
Q = -k\,(2\pi r L)\,\frac{dT}{dr}.
  • Isolando a derivada e integrando entre r=R_{1} (onde T=T_{1}) e r=R_{2} (onde T=T_{2}):
\frac{dT}{dr} = -\frac{Q}{2\pi k L}\,\frac{1}{r}
\text{Integrando:}\quad \int_{T_{1}}^{T_{2}} dT = -\frac{Q}{2\pi k L}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{dr}{r}.
  • As integrais são elementares; a integral da direita é o logaritmo natural:
T_{2}-T_{1} = -\frac{Q}{2\pi k L}\,\ln\!\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right).
  • Rearranjando para Q (tomando o sentido do fluxo do interior quente para o exterior frio, o valor será positivo em magnitude):
Q = \frac{2\pi k L\,(T_{1}-T_{2})}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
  • Observação sobre variáveis: Q é a potência térmica (W), k é condutividade (W/m·°C), L é o comprimento do trecho considerado (m), T_{1}-T_{2} é a diferença de temperatura (°C) e a divisão por \ln(R_{2}/R_{1}) aparece por causa da geometria cilíndrica.

Passo 3

Expressão prática usando a área externa fornecida:
  • A área externa dada é A = 2\pi R_{2} L. Podemos usar isso para eliminar L:
L = \frac{A}{2\pi R_{2}}.
  • Substituindo L na fórmula de Q:
Q = \frac{2\pi k \left(\dfrac{A}{2\pi R_{2}}\right)(T_{1}-T_{2})}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)} = \frac{k\,A}{R_{2}}\cdot\frac{(T_{1}-T_{2})}{\ln\!\left(\dfrac{R_{2}}{R_{1}}\right)}.
  • Isto é útil porque evita calcular L separadamente.

Passo 4

Cálculos numéricos (com todas as contas explicadas):
  • Primeiro calcule a diferença de temperatura:
T_{1}-T_{2}=206-37=169\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Razão de raios:
\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{1,000}{0,985}=1,015228\\ (\text{aprox.}).
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)\approx 0,0151136.
(para um pequeno x, \ln(1+x)\approx x - x^{2}/2+\dots; aqui x\approx0,015228, portanto o ln é aproximadamente 0,01511.)
  • Calcule o fator \dfrac{kA}{R_{2}}:
\frac{kA}{R_{2}}=\frac{18\cdot 23}{1,000}=414\\ \mathrm{W}/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Finalmente:
Q = \frac{414\cdot 169}{0,0151136}\\ \mathrm{W}.
  • Multiplicando o numerador:
414\cdot 169 = 69\,966.
  • Dividindo:
Q \approx \frac{69\,966}{0,0151136}\approx 4{,}63\times 10^{6}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação rápida e verificação:
  • O resultado é aproximadamente 4{,}63\\ \mathrm{MW}. É grande porque a espessura é muito pequena (apenas 0{,}015\\ \mathrm{m} de diferença de raios) e a condutividade é relativamente alta; em geometria cilíndrica isso gera uma resistência térmica muito baixa, então o fluxo é alto para uma diferença de temperatura de 169\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Verificação dimensional: kA/R_{2} tem unidades (\mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}^{2})/\mathrm{m}=\mathrm{W}/^{\circ}\mathrm{C}; multiplicando por (T_{1}-T_{2}) e dividindo por adimensional \ln(\cdot) dá Watts — unidade correta.

Resposta

Q' \approx 4,63\times 10^{6}\\ \mathrm{W}

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