Suponha uma tubulação cuja parede tenha a forma de uma casca cilíndrica com raio interno
e raio externo
. A área da superfície externa da tubulação é
.
A temperatura da superfície interna do tubo é T_
e da superfície externa é T_
. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é
.
Determine a carga térmica Q’ que atravessa radialmente a parede da tubulação.
Resposta:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Área da superfície externa da tubulação:
. - Temperatura na superfície interna:
. - Temperatura na superfície externa:
. - Condutividade térmica do material:
.
O que se pede:
- Determinar a carga térmica (fluxo de calor)
que atravessa radialmente a parede da tubulação (ou seja, a potência térmica em watts atravessando a espessura cilíndrica).
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial (passo-a-passo didático):
- Em regime estacionário, o fluxo de calor radial
através de uma casca cilíndrica de comprimento é constante com . A Lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial, escreve-se localmente como
onde
é a densidade de fluxo térmico (W/m²) na superfície de raio
.
- A área através da qual o calor atravessa à distância
é a área lateral da casca de raio e comprimento :
- A potência térmica total é
. Substituindo,
- Isolando a derivada e integrando entre
(onde ) e (onde ):
- As integrais são elementares; a integral da direita é o logaritmo natural:
- Rearranjando para
(tomando o sentido do fluxo do interior quente para o exterior frio, o valor será positivo em magnitude):
- Observação sobre variáveis:
é a potência térmica (W), é condutividade (W/m·°C), é o comprimento do trecho considerado (m), é a diferença de temperatura (°C) e a divisão por aparece por causa da geometria cilíndrica.
Passo 3
Expressão prática usando a área externa fornecida:
- A área externa dada é
. Podemos usar isso para eliminar :
- Substituindo
na fórmula de :
- Isto é útil porque evita calcular
separadamente.
Passo 4
Cálculos numéricos (com todas as contas explicadas):
- Primeiro calcule a diferença de temperatura:
- Razão de raios:
- Logaritmo natural:
(para um pequeno
,
; aqui
, portanto o ln é aproximadamente
.)
- Calcule o fator
:
- Finalmente:
- Multiplicando o numerador:
- Dividindo:
Passo 5
Interpretação rápida e verificação:
- O resultado é aproximadamente
. É grande porque a espessura é muito pequena (apenas de diferença de raios) e a condutividade é relativamente alta; em geometria cilíndrica isso gera uma resistência térmica muito baixa, então o fluxo é alto para uma diferença de temperatura de . - Verificação dimensional:
tem unidades ; multiplicando por e dividindo por adimensional dá Watts — unidade correta.