Um cilindro maciço longo, não-condutor, com 4,0 \mathrm{~cm} de raio, possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme p que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: \rho=A \sqrt{r}. Para A=2,5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{5}, determine o módulo do campo elétrico (a) para r=3,0 \mathrm{~cm}; (b) para r=5,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico produzido por um cilindro maciço longo, não-condutor, de raio \,R=4,0\\ \mathrm{cm}\, com densidade volumétrica de carga dependente da distância radial r:
\rho(r)=A\sqrt{r}.
Dados numéricos fornecidos:
A=2,5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^5=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^5,
R=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
As perguntas são:
(a) determinar o módulo de \,E para \,r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} (ponto dentro do cilindro);
(b) determinar o módulo de \,E para \,r=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (ponto fora do cilindro).

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática e passo-a-passo do conceito usado).
  • Como o cilindro é longo e simétrico em torno do eixo, o campo elétrico resultante será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma dada distância r do eixo. Isso sugere usar uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial para aplicar a Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss (forma integral) é:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \,Q_{\text{int}}\, é a carga total dentro da superfície gaussiana e \varepsilon_0 é a constante dielétrica do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). Vou explicar cada termo quando aplicado ao cilindro:
  • Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio \,r e comprimento \,L (coaxial com o cilindro carregado).
  • A superfície lateral tem área \,A_{\text{lat}}=2\pi r L. Como \mathbf{E} é radial e constante sobre essa lateral, o fluxo é E\cdot 2\pi r L.
  • As tampas da superfície gaussiana (planos em z) não contribuem porque \mathbf{E} é paralelo ao plano (o produto escalar é zero).
  • Então a Lei de Gauss reduz-se a:
E\cdot 2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Logo preciso calcular Q_{\text{int}} (a carga contida no cilindro de raio r e comprimento L). Para fazer isso uso integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Cálculo da carga encerrada para r qualquer (expressão geral).
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=r'\,d\varphi\,dr'\,dz. Integrando \varphi de 0 a 2\pi e z de 0 a L obtemos dV_{\text{integrado}}=2\pi L r'\,dr'.
  • A densidade é \rho(r')=A\sqrt{r'}. Assim a carga encerrada até raio r é
Q_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\;2\pi L r'\,dr' = 2\pi L A \int_{0}^{r} r'^{3/2}\,dr'.
  • Calculo da integral passo a passo:
\int r'^{3/2}\,dr'=\frac{r'^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}\,r'^{5/2}.
  • Substituindo os limites:
Q_{\text{int}}(r)=2\pi L A\cdot\frac{2}{5}\,r^{5/2}=\frac{4\pi}{5}\,L A\,r^{5/2}.

Passo 4

Expressão do campo elétrico para r<R (dentro do cilindro) usando a Lei de Gauss.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
E\cdot 2\pi r L=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi}{5}\,L A\,r^{5/2}.
  • Isolando E:
E=\frac{1}{2\pi r L}\cdot\frac{4\pi}{5}\cdot\frac{L A\,r^{5/2}}{\varepsilon_0}.
  • Simplificando os fatores (observe que L e \pi se cancelam apropriamente):
E=\frac{2}{5}\cdot\frac{A}{\varepsilon_0}\,r^{3/2}.
  • Portanto, para r<R:
\boxed{E_{\text{dentro}}(r)=\frac{2A}{5\varepsilon_0}\;r^{3/2}.}
Explicação intuitiva: r^{3/2} surge porque a densidade aumenta com \sqrt{r} e o elemento de volume traz um fator r; a Lei de Gauss introduz divisão por r, resultando em r^{3/2}.

Passo 5

Cálculo numérico para (a) r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m} (dentro).
  • Vou usar \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e A=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^5.
  • Primeiro calculo a constante \dfrac{2A}{5\varepsilon_0}:
\frac{2A}{5\varepsilon_0}=\frac{2\times 2{,}5\times10^{-6}}{5\times 8{,}854187817\times10^{-12}} =\frac{5{,}0\times10^{-6}}{4{,}4270939085\times10^{-11}} \approx 1{,}12940952\times10^{5}\\ \mathrm{(SI)}.
  • Agora calculo r^{3/2} para r=0{,}03\\ \mathrm{m}:
r^{3/2}=(0{,}03)^{3/2}=0{,}03\sqrt{0{,}03}=0{,}03\times0{,}17320508\approx0{,}00519615\\ \mathrm{m}^{3/2}.
  • Multiplico para obter E:
E(0{,}03)=1{,}12940952\times10^{5}\times0{,}00519615\approx 5{,}8686\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
E(0{,}03)\approx 5{,}87\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Expressão do campo elétrico para r\ge R (fora do cilindro).
  • Para r\ge R a carga total do cilindro (por comprimento L) é aquela com r'=0 até r'=R:
Q_{\text{tot}}=\frac{4\pi}{5}\,L A\,R^{5/2}.
  • Aplicando a Lei de Gauss para superfície de raio r\ge R:
E\cdot 2\pi r L=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi}{5}\,L A\,R^{5/2}.
  • Isolando E e simplificando:
E=\frac{2}{5}\cdot\frac{A}{\varepsilon_0}\,\frac{R^{5/2}}{r}.
  • Portanto, para r\ge R:
\boxed{E_{\text{fora}}(r)=\frac{2A}{5\varepsilon_0}\;\frac{R^{5/2}}{r}.}
Observação: fora do cilindro o campo decai como 1/r, como esperado para distribuição linear efetiva de carga por unidade de comprimento.

Passo 7

Cálculo numérico para (b) r=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (fora).
  • Já temos a constante \dfrac{2A}{5\varepsilon_0}\approx 1{,}12940952\times10^{5}.
  • Calculo R^{5/2} com R=0{,}04\\ \mathrm{m}:
R^{5/2}=(0{,}04)^{5/2}=(0{,}04)^2\sqrt{0{,}04}=0{,}0016\times0{,}2=0{,}00032\\ \mathrm{m}^{5/2}.
  • Então
\frac{R^{5/2}}{r}=\frac{0{,}00032}{0{,}05}=0{,}0064\\ \mathrm{m}^{3/2}.
  • Multiplico para obter E:
E(0{,}05)=1{,}12940952\times10^{5}\times0{,}0064\approx7{,}228221\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
E(0{,}05)\approx 7{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 8

Pequeno comentário de verificação (opcional e útil para prova).
  • Se eu avaliar a expressão interna em r=R e a externa em r=R, elas coincidem (continuidade do campo tangencial no vácuo aqui), o que é uma checagem rápida da consistência algébrica das fórmulas.

Resposta

E(r=3{,}0\\ \mathrm{cm})=5{,}87\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}
E(r=5{,}0\\ \mathrm{cm})=7{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}

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