Um cilindro maciço longo, não-condutor, com
de raio, possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme
que é função da distância radial
a partir do eixo do cilindro:
. Para
, determine o módulo do campo elétrico (a) para
; (b) para
.
Passo 1
O enunciado pede o módulo do campo elétrico produzido por um cilindro maciço longo, não-condutor, de raio
com densidade volumétrica de carga dependente da distância radial
:
Dados numéricos fornecidos:
As perguntas são:
(a) determinar o módulo de para
(ponto dentro do cilindro);
(b) determinar o módulo de para
(ponto fora do cilindro).
(a) determinar o módulo de
(b) determinar o módulo de
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática e passo-a-passo do conceito usado).
- Como o cilindro é longo e simétrico em torno do eixo, o campo elétrico resultante será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma dada distância
do eixo. Isso sugere usar uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial para aplicar a Lei de Gauss. - A Lei de Gauss (forma integral) é:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a constante dielétrica do vácuo (
). Vou explicar cada termo quando aplicado ao cilindro:
- Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento (coaxial com o cilindro carregado). - A superfície lateral tem área
. Como é radial e constante sobre essa lateral, o fluxo é . - As tampas da superfície gaussiana (planos em z) não contribuem porque
é paralelo ao plano (o produto escalar é zero). - Então a Lei de Gauss reduz-se a:
Logo preciso calcular
(a carga contida no cilindro de raio
e comprimento
). Para fazer isso uso integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Cálculo da carga encerrada para
qualquer (expressão geral).
- Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
. Integrando de a e de a obtemos . - A densidade é
. Assim a carga encerrada até raio é
- Calculo da integral passo a passo:
- Substituindo os limites:
Passo 4
Expressão do campo elétrico para
(dentro do cilindro) usando a Lei de Gauss.
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Isolando
:
- Simplificando os fatores (observe que
e se cancelam apropriamente):
- Portanto, para
:
Explicação intuitiva:
surge porque a densidade aumenta com
e o elemento de volume traz um fator
; a Lei de Gauss introduz divisão por
, resultando em
.
Passo 5
Cálculo numérico para (a)
(dentro).
- Vou usar
e . - Primeiro calculo a constante
:
- Agora calculo
para :
- Multiplico para obter
:
- Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Expressão do campo elétrico para
(fora do cilindro).
- Para
a carga total do cilindro (por comprimento ) é aquela com até :
- Aplicando a Lei de Gauss para superfície de raio
:
- Isolando
e simplificando:
- Portanto, para
:
Observação: fora do cilindro o campo decai como
, como esperado para distribuição linear efetiva de carga por unidade de comprimento.
Passo 7
Cálculo numérico para (b)
(fora).
- Já temos a constante
. - Calculo
com :
- Então
- Multiplico para obter
:
- Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 8
Pequeno comentário de verificação (opcional e útil para prova).
- Se eu avaliar a expressão interna em
e a externa em , elas coincidem (continuidade do campo tangencial no vácuo aqui), o que é uma checagem rápida da consistência algébrica das fórmulas.