** Uma tensão \mathrm{v}(\mathrm{t})=10 \sin (2 \pi \cdot 60 \mathrm{t}) é aplicada a um circuito RL série. Esboce de forma qualitativa as formas de onda da tensão da fonte v(t) e da corrente resultante \mathrm{i}(\mathrm{t}), mostrando claramente que a corrente está atrasada.
  • Resposta: O esboço deve mostrar duas senoides da mesma frequência. O pico da senoide da corrente deve ocorrer depois do pico da senoide da tensão no eixo do tempo.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce qualitativamente as formas de onda da tensão da fonte e da corrente resultante em um circuito série RL quando é aplicada a tensão
v(t)=10\sin\bigl(2\pi\cdot 60\,t\bigr).
As informações relevantes dadas são:
  • A fonte é senoidal com amplitude 10 (unidades não especificadas) e frequência 60\\ \mathrm{Hz}.
  • O circuito é série RL (resistor R em série com indutor L).
  • O objetivo é mostrar, no esboço, que a corrente está atrasada em relação à tensão (isto é, o pico da corrente ocorre depois do pico da tensão).

Passo 2

Conceito básico que preciso usar (aula rápida): resposta em regime permanente forçado por senoide.
  • Quando uma fonte senoidal aplica-se a um circuito linear (como RL) e esperamos o regime permanente senoidal, a corrente também será uma senoide da mesma frequência, possivelmente com amplitude e fase diferentes.
  • Escrevemos a tensão como
v(t)=V_m\sin(\omega t),
onde V_m é a amplitude máxima e \omega é a frequência angular. Aqui V_m=10 e \omega=2\pi\cdot 60.
  • Em regime permanente a corrente geral tem a forma
i(t)=I_m\sin(\omega t + \theta),
onde I_m é a amplitude da corrente e \theta é a diferença de fase entre corrente e tensão. Se \theta<0 significa que a corrente está atrasada (deslocada para a direita no tempo) em relação à tensão.

Passo 3

Ferramenta que determina o ângulo de defasagem: impedância do circuito RL.
  • Para análise com senoides, representamos elemento pelo conceito de impedância (uma “resistência complexa”):
    • Resistor: impedância R.
    • Indutor: impedância j\omega L (onde j é a unidade imaginária).
  • A impedância total do circuito série RL é
Z = R + j\omega L.
  • A relação fasorial entre tensão e corrente é \underline{I} = \underline{V}/Z. O ângulo de Z determina a diferença de fase entre tensão e corrente.

Passo 4

Cálculo do ângulo de defasagem (explicação passo a passo).
  • Escrevo Z em forma polar: a magnitude é |Z|=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}} e o ângulo (argumento) é
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\omega L}{R}\right).
  • Como Z tem argumento +\varphi, o fasor da corrente tem argumento -\varphi em relação ao fasor da tensão (porque \underline{I}=\underline{V}/Z e dividir por algo com ângulo +\varphi subtrai \varphi).
  • Portanto a corrente no tempo será
i(t)=I_m\sin\bigl(\omega t - \varphi\bigr),
com
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\omega L}{R}\right).
Observação didática: \varphi é positivo porque \omega L\ge 0; o sinal negativo em i(t) mostra que a corrente está atrasada.

Passo 5

Interpretação física simples (sem jargão): por que a corrente atrasa?
  • O indutor opõe-se a variações de corrente; na presença de um indutor a corrente não sobe e desce exatamente quando a tensão sobe e desce — ela “resiste” à mudança e por isso fica deslocada para a direita (atrasada).
  • Matematicamente, o termo \omega L aparece somando à resistência no quadrado dentro da magnitude de Z e produz um ângulo \varphi>0, que causa o atraso.

Passo 6

Relação entre ângulo de fase e atraso em tempo (útil para o esboço).
  • A diferença de fase \varphi (em radianos) corresponde a um atraso de tempo
\Delta t=\dfrac{\varphi}{\omega}.
  • Exemplo concreto para ajudar a desenhar: suponha R=10\\ \Omega e L=0{,}01\\ \mathrm{H} (escolha só para visualizar). Então \omega=2\pi\cdot 60\approx 377\\ \mathrm{rad/s} e
\omega L \approx 377\times 0{,}01=3{,}77.
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{3{,}77}{10}\right)\approx 20{,}6^\circ\approx 0{,}36\\ \text{rad}.
\Delta t=\dfrac{0{,}36}{377}\approx 0{,}00095\\ \mathrm{s}\\ (=0{,}95\\ \mathrm{ms}).
Isto significa que, no exemplo, o pico da corrente aparece cerca de 0{,}95\\ \mathrm{ms} depois do pico da tensão. Use esse valor como deslocamento ao desenhar.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (instruções para desenhar à mão, qualitativo e claro):
  1. Desenhe um eixo horizontal de tempo t e um eixo vertical para tensão/corrente.
  2. Desenhe primeiro v(t)=10\sin(2\pi\cdot 60\, t): uma senoide com período T=1/60\approx 0{,}0167\\ \mathrm{s}. Marque um pico positivo em t=t_0.
  3. Desenhe a senoide da corrente i(t)=I_m\sin(2\pi\cdot 60\, t-\varphi) com a mesma frequência e período, mas deslocada para a direita de uma quantidade \Delta t=\varphi/\omega. No esboço a amplitude I_m pode ser menor que 10 (depende de R e L), mas o importante é o deslocamento temporal.
  4. No desenho, marque claramente os picos: o pico de i(t) aparecerá depois do pico de v(t). Trace uma seta horizontal entre os picos para indicar o atraso \Delta t ou escreva \varphi como ângulo de defasagem.
  5. Rotule as curvas: v(t) (tensão) e i(t) (corrente). Opcional: indique com um pequeno texto “corrente atrasada” ou “i(t) atrasa v(t) por \varphi”.

Passo 8

Resumo final da propriedade que o esboço deve mostrar (para gravar na prova):
  • A corrente tem a mesma frequência da tensão, mas fica defasada negativamente:
i(t)=I_m\sin\bigl(2\pi\cdot 60\,t - \varphi\bigr),
com
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{2\pi\cdot 60\, L}{R}\right)>0.
  • Consequência prática: o pico da senoide da corrente ocorre depois do pico da senoide da tensão no eixo do tempo. Desenhe duas senoides da mesma frequência com a corrente deslocada para a direita.

Resposta

v(t)=10\sin\bigl(2\pi\cdot 60\,t\bigr) \
i(t)=I_m\sin\bigl(2\pi\cdot 60\,t-\varphi\bigr), com \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{2\pi\cdot 60\,L}{R}\right)>0 \
Portanto, as duas senoides têm a mesma frequência e o pico de i(t) ocorre depois do pico de v(t) (corrente atrasada).

Exercícios relacionados