Um cilindro metálico com 1,27 \mathrm{~cm} de diâmetro e 9,4 \mathrm{~cm} de comprimento é aquecido internamente por uma resistência elétrica de 46 W que mantém sua temperatura externa a 128,4^{\circ} \mathrm{C}. Sobre ele passa ar a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \\\mathrm{s} e 26,2^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que 15 % da energia da resistência não é transferida para o ar, calcule os coeficientes convectivos a partir dos métodos solicitados.
Por meio da aplicação da equaçãoda convecção (Lei de Resfriamento de Newton).

Passo 1

Vou reescrever e listar claramente os dados fornecidos no enunciado, sem resolver ainda:
  • Potência da resistência: 46\\ \mathrm{W}.
  • Fração de potência que NÃO vai para o ar: 15\%. Logo a potência transferida para o ar é a fração complementar; calcularemos adiante.
  • Temperatura externa do cilindro: 128,4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar: 26,2^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro do cilindro: 1,27\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do cilindro: 9,4\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade do ar: 10\\ \mathrm{m/s} (dado fornecido; para a aplicação direta da Lei de Newton usaremos apenas a potência efetiva e as temperaturas, mas o fato de haver fluxo indica convecção forçada).
O que o enunciado pede: calcular o coeficiente convectivo médio h usando a equação da convecção (Lei de Resfriamento de Newton), isto é, encontrar h tal que a potência convectiva absorvida pelo ar seja igual à potência fornecida à superfície (ajustada pela perda de 15\%).

Passo 2

Converter unidades e calcular a potência efetivamente transferida ao ar e a diferença de temperatura:
  • Converter diâmetro e comprimento para metros: d = 1,27\\ \mathrm{cm} = 0,0127\\ \mathrm{m}, \qquad L = 9,4\\ \mathrm{cm} = 0,094\\ \mathrm{m}.
  • Potência entregue pela resistência: 46\\ \mathrm{W}. Como 15\% NÃO vai para o ar, a potência convectiva é Q_{\text{conv}} = 0,85 \cdot 46 = 39,1\\ \mathrm{W}.(Aqui usei 0,85 = 1 - 0,15.)
  • Diferença de temperaturas entre superfície e ar: \Delta T = T_s - T_\infty = 128,4 - 26,2 = 102,2\\ ^\circ\mathrm{C}.Observação: em diferenças de temperatura 1\\ ^\circ\mathrm{C} = 1\\ \mathrm{K}, então podemos usar 102,2\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Escolher a área de superfície A pela qual ocorre a convecção e calcular numericamente. Um cilindro exposto ao ar perde calor pela superfície lateral e pelas duas extremidades; vamos usar a área externa total:
  • Área lateral: A_{\text{lat}} = \pi d L.
  • Área das duas extremidades (duas bases circulares): A_{\text{ends}} = 2\cdot \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{2}.
  • Área total: A = A_{\text{lat}} + A_{\text{ends}} = \pi d L + \frac{\pi d^2}{2} = \pi d\!\left(L+\frac{d}{2}\right).
Agora substituímos d e L:
  • Calcular A_{\text{lat}}: A_{\text{lat}} = \pi \cdot 0,0127 \cdot 0,094 = \pi \cdot 0,0011938 \approx 0,0037489\\ \mathrm{m^2}.
  • Calcular A_{\text{ends}}: A_{\text{ends}} = \frac{\pi \cdot (0,0127)^2}{2} = \frac{\pi \cdot 0,00016129}{2} \approx 0,0002534\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total: A \approx 0,0037489 + 0,0002534 = 0,0040023\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Escrever a equação da convecção (Lei de Newton do resfriamento) e isolar h. A lei diz:
Q_{\text{conv}} = h \, A \, (T_s - T_\infty).
Onde:
  • Q_{\text{conv}} é a potência transferida por convecção (em \mathrm{W}).
  • h é o coeficiente convectivo médio que queremos (em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}).
  • A é a área de superfície exposta (em \mathrm{m^2}).
  • T_s é a temperatura da superfície (em \mathrm{^\circ C} ou \mathrm{K}).
  • T_\infty é a temperatura do fluido distante (ar) (em \mathrm{^\circ C} ou \mathrm{K}).
Isolando h:
h = \frac{Q_{\text{conv}}}{A\,\Delta T}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular h passo a passo:
  • Já temos Q_{\text{conv}} = 39,1\\ \mathrm{W}, A \approx 0,0040023\\ \mathrm{m^2} e \Delta T = 102,2\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o produto A\,\Delta T: A\,\Delta T \approx 0,0040023 \times 102,2 \approx 0,409035\\ \mathrm{m^2\cdot K}.
  • Agora calcular h: h = \frac{39,1}{0,409035} \approx 95,63\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
(Os arredondamentos foram feitos ao final; mantive 3 algarismos significativos.)

Passo 6

Interpretação curta (didática): o valor h calcula-se dividindo a potência realmente absorvida pelo ar pela área efetiva e pela diferença de temperatura superfície–ar. Aqui obtivemos um valor típico de convecção forçada moderada. Em prova, sempre explique a escolha da área (se só lateral ou total) — se o enunciado disser “cilindro longo” pode-se desprezar as extremidades; como não foi dito que eram desprezíveis, usei a área total.

Resposta

h \approx 95,6\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

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