Um cilindro metálico com 1,27 \mathrm{~cm} de diâmetro e 9,4 \mathrm{~cm} de comprimento é aquecido internamente por uma resistência elétrica de 46 W que mantém sua temperatura externa a 128,4^{\circ} \mathrm{C}. Sobre ele passa ar a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \\\mathrm{s} e 26,2^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que 15 % da energia da resistência não é transferida para o ar, calcule os coeficientes convectivos a partir dos métodos solicitados.
Utilizando a equação de Zukauskas (1972).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o coeficiente convectivo usando a equação de Zukauskas (1972):
  • Diâmetro do cilindro: D = 1,27\\ \mathrm{cm} = 0{,}0127\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do cilindro: L = 9{,}4\\ \mathrm{cm} = 0{,}094\\ \mathrm{m}.
  • Potência da resistência: P = 46\\ \mathrm{W}.
  • Fração da potência não transferida ao ar: 15\% (logo a potência transferida ao ar é Q = 0{,}85\cdot 46\\ \mathrm{W}).
  • Temperatura externa do cilindro (superfície): T_s = 128{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 26{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do ar: U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s}.
O objetivo neste item: calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção h sobre o cilindro usando a correlação de Zukauskas (1972).

Passo 2

Resumo numérico inicial e cálculo da potência realmente transferida ao ar:
  • Converter temperaturas para kelvin quando necessário:
    T_s = 128{,}4^\circ\mathrm{C} = 401{,}55\\ \mathrm{K}.
    T_\infty = 26{,}2^\circ\mathrm{C} = 299{,}35\\ \mathrm{K}.
  • Potência transferida ao ar: Q = 0{,}85\cdot 46\\ \mathrm{W} = 39{,}1\\ \mathrm{W}.
  • Área lateral do cilindro (área através da qual ocorre convecção): A = \pi D L.Vou calcular A numericamente mais adiante quando precisar.

Passo 3

Apresentando a correlação de Zukauskas (1972) e explicando cada termo (aula rápida e prática).
A forma usual da correlação de Zukauskas para escoamento transversal sobre cilindros é:
\mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}^{\,0,36}\left(\frac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0,25},
onde:
  • \mathrm{Nu}_D é o número de Nusselt baseado no diâmetro D, definido por \mathrm{Nu}_D = \dfrac{hD}{k}. É uma medida adimensional da convecção (relação entre transporte convectivo e difusivo).
  • \mathrm{Re}_D é o número de Reynolds baseado em D: \mathrm{Re}_D = \dfrac{\rho U_\infty D}{\mu}. Ele caracteriza o regime do escoamento (laminar/transição/turbulento).
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl do fluido no “ponto médio” (film temperature), \mathrm{Pr} = \dfrac{\mu c_p}{k}. Ele relaciona difusividade de momento e de calor.
  • \mathrm{Pr}_s é o número de Prandtl na temperatura da superfície (usado para correção de propriedades quando há variação significativa de temperatura).
  • C e m são constantes experimentais que dependem da faixa de \mathrm{Re}_D (tabela da correlação).
  • A potência h é obtida a partir de \mathrm{Nu}_D por h = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.
Observações didáticas rápidas:
  • Usamos propriedades do ar avaliadas na temperatura de filme \displaystyle T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} porque durante convecção as propriedades variam com a temperatura entre superfície e ambiente; o valor de filme é uma boa aproximação prática.
  • O fator \left(\dfrac{\mathrm{Pr}}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0,25} corrige pequenas variações de propriedades com a temperatura da superfície; frequentemente ele é próximo de 1 se as temperaturas não são extremas.

Passo 4

Calcular a temperatura de filme e a área lateral do cilindro:
  • Temperatura de filme: T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} = \frac{401{,}55 + 299{,}35}{2} = 350{,}45\\ \mathrm{K}.
  • Área lateral: A = \pi D L = \pi \cdot 0{,}0127\\ \mathrm{m} \cdot 0{,}094\\ \mathrm{m} = 0{,}003749\\ \mathrm{m}^2\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Estimativa das propriedades do ar em T_f (aqui uso fórmulas padrão — explico o porquê e como calcular para você repetir em prova):
Usarei a lei de Sutherland para viscosidade dinâmica \mu(T), que é prática e precisa para ar:
\mu(T) = \mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0 + S}{T + S},
com constantes padrão para o ar: \mu_0 = 1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0 = 273{,}15\\ \mathrm{K} e S = 110{,}4\\ \mathrm{K}.
  • Viscosidade dinâmica no T_f = 350{,}45\\ \mathrm{K}:
    calcular passo a passo:
    \mu_f = 1{,}716\times 10^{-5}\left(\frac{350{,}45}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15 + 110{,}4}{350{,}45 + 110{,}4}.
    Avaliando numericamente obtém-se \mu_f \approx 2{,}079\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Densidade do ar no T_f (pressão atmosférica p = 101325\\ \mathrm{Pa}, constante dos gases R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}):
    \rho_f = \frac{p}{R T_f} = \frac{101325}{287\cdot 350{,}45}\approx 1{,}0075\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico a pressão constante c_{p,f}. Para ar, c_p varia pouco; tomo c_{p,f}\approx 1008\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} em 350{,}45\\ \mathrm{K} (valor usual tabelado — na prova você pode usar tabela ou aproximação linear).
  • Estimo a condutividade térmica k_f usando a relação entre \mu, c_p e \mathrm{Pr}: como \mathrm{Pr} para ar fica em torno de 0{,}7, uso
    k_f \approx \frac{\mu_f c_{p,f}}{\mathrm{Pr}}.
    Adotando \mathrm{Pr}\approx 0{,}71 (valor típico para ar nessa faixa de temperatura), temos
    k_f \approx \frac{2{,}079\times 10^{-5}\cdot 1008}{0{,}71}\approx 0{,}0295\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Assim o número de Prandtl no filme é
    \mathrm{Pr}_f = \frac{\mu_f c_{p,f}}{k_f} \approx 0{,}71.
(Comentário amigo: em prova, se você tiver tabela de propriedades do ar, use os valores tabulados em T_f — o procedimento é o mesmo.)

Passo 6

Calcular o número de Reynolds baseado em D usando propriedades no T_f:
\mathrm{Re}_D = \frac{\rho_f U_\infty D}{\mu_f}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}_D = \frac{1{,}0075\cdot 10\cdot 0{,}0127}{2{,}079\times 10^{-5}} \approx 6{,}21\times 10^{3}.
Interpretação: \mathrm{Re}_D \approx 6{,}2\times 10^{3}, que está na faixa intermediária (fluxo externo ao redor de cilindro, regime onde a correlação de Zukauskas fornece constantes próprias).

Passo 7

Escolha dos coeficientes C e expoente m da correlação de Zukauskas.
A correlação pede que se escolha C e m de acordo com a faixa de \mathrm{Re}_D. Para escoamento transversal em cilindros isolados ou fila única, uma tabela padrão (Zukauskas) dá, para a faixa 4\times 10^{3} < \mathrm{Re}_D < 4\times 10^{4}, os valores:
C = 0{,}193,\qquad m = 0{,}618.
(Justificação prática: nossa \mathrm{Re}_D \approx 6{,}2\times 10^{3} encaixa nessa faixa, logo adotamos esses C e m.)

Passo 8

Calcular o número de Nusselt pela correlação e a correção de propriedade de superfície:
A correlação completa que usaremos é
\mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}_f^{\,0,36}\left(\frac{\mathrm{Pr}_f}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0,25}.
  • Já temos \mathrm{Re}_D \approx 6{,}21\times 10^{3}, \mathrm{Pr}_f \approx 0{,}71.
  • Precisamos de \mathrm{Pr}_s (Prandtl à temperatura da superfície). Estimo \mathrm{Pr}_s avaliando \mu_s via Sutherland e assumindo c_{p,s}\approx 1013\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Calculando \mu_s em T_s = 401{,}55\\ \mathrm{K} pela lei de Sutherland (mesmo procedimento do Passo 5) obtém-se \mu_s \approx 2{,}289\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Tomando k_s consistente com as estimativas (cerca de 0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), resulta \mathrm{Pr}_s \approx 0{,}74.
  • O fator \left(\dfrac{\mathrm{Pr}_f}{\mathrm{Pr}_s}\right)^{0,25} fica muito próximo de 1; numericamente dá aproximadamente 0{,}99. Para contas de prova essa correção muitas vezes pode ser aproximada por 1, mas aqui usarei o valor aproximado para consistência.
Agora calcule passo a passo:
  • \mathrm{Re}_D^{\,m} = (6{,}21\times 10^{3})^{0,618}. Numericamente: (6{,}21\times 10^{3})^{0,618} \approx 2{,}22\times 10^{2}.
  • \mathrm{Pr}_f^{\,0,36} \approx 0{,}71^{0,36} \approx 0{,}88.
Logo
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}193 \times 2{,}22\times 10^{2} \times 0{,}88 \times 0{,}99 \approx 37{,}7\\ (\text{aprox.}).

Passo 9

Converter \mathrm{Nu}_D em coeficiente convectivo h:
h = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k_f}{D}.
Substituindo \mathrm{Nu}_D \approx 37{,}7, k_f \approx 0{,}0295\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D = 0{,}0127\\ \mathrm{m},
h \approx \frac{37{,}7 \times 0{,}0295}{0{,}0127} \approx 87{,}8\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
Arredondando de forma prática: h \approx 88\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
(Comentário motivacional: deu trabalho, mas é só aplicar passo a passo — em prova você faz igual: film temperature, propriedades, Re, escolhe C,m, calcula Nu e depois h.)

Passo 10

Verificação rápida (opcional, para entender contexto): se você usar h obtido para estimar a potência transferida pelo cilindro, tem-se
Q_{\text{pred}} = h A (T_s - T_\infty) \approx 87{,}8 \times 0{,}003749 \times 102{,}2 \approx 33{,}6\\ \mathrm{W},
que é um pouco menor que a Q informada ( 39{,}1\\ \mathrm{W}). Ou seja, a correlação prevê h um pouco menor do que o valor que resultaria diretamente da potência e da diferença de temperatura; isso pode ocorrer por imprecisões nas estimativas de propriedades, pela simplicidade da correlação, ou por efeitos de extremidades do cilindro (Fluxo não estritamente bidimensional) — mas o procedimento e o resultado numérico estão corretos para aplicação da fórmula de Zukauskas.

Resposta

h \approx 88{,}0\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}

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