Um cilindro metálico com 1,27 \mathrm{~cm} de diâmetro e 9,4 \mathrm{~cm} de comprimento é aquecido internamente por uma resistência elétrica de 46 W que mantém sua temperatura externa a 128,4^{\circ} \mathrm{C}. Sobre ele passa ar a uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \\\mathrm{s} e 26,2^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que 15 % da energia da resistência não é transferida para o ar, calcule os coeficientes convectivos a partir dos métodos solicitados.
Utilizando a equação de Churchill e Bernstein

Passo 1

O enunciado dá um cilindro metálico aquecido internamente por uma resistência elétrica e pede para calcular os coeficientes convectivos usando a equação de Churchill e Bernstein. Dados fornecidos (vou listar todos claramente):
  • diâmetro do cilindro: D = 1{,}27\\ \mathrm{cm} = 0{,}0127\\ \mathrm{m};
  • comprimento do cilindro: L = 9{,}4\\ \mathrm{cm} = 0{,}094\\ \mathrm{m};
  • potência da resistência: P_{\text{res}} = 46\\ \mathrm{W};
  • temperatura externa do cilindro (superfície): T_s = 128{,}4^\circ\mathrm{C};
  • ar ambiente com velocidade: U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s};
  • temperatura do ar: T_\infty = 26{,}2^\circ\mathrm{C};
  • fração de energia da resistência que NÃO vai para o ar: 15\% (logo a energia convectiva para o ar é 85\% de P_{\text{res}}).
    O que preciso calcular: o coeficiente convectivo médio h do ar sobre o cilindro usando a correlação de Churchill e Bernstein (para escoamento transversal ao cilindro).
    No passo seguinte começo a resolução, escolhendo propriedades do ar e montando as contas.

Passo 2

Defino a energia disponível para convecção e a área superficial do cilindro (essas aparecem na verificação por balanço de energia):
  • potência transferida ao ar por convecção:
Q_{\text{conv}} = 0{,}85 \, P_{\text{res}} = 0{,}85\cdot 46\\ \mathrm{W} = 39{,}1\\ \mathrm{W}.
  • área externa lateral do cilindro (desprezando as tampas):
A_s = \pi D L.
Calculo numérico:
A_s = \pi\cdot 0{,}0127\cdot 0{,}094 = 0{,}0037488\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Explico a escolha da temperatura para propriedades do ar: usamos a temperatura de filme
T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2} = \frac{128{,}4 + 26{,}2}{2} = 77{,}3^\circ\mathrm{C}.
As propriedades do ar (densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, condutividade térmica k, e número de Prandtl \Pr) são avaliadas aproximadamente à temperatura de filme. Vou usar valores típicos de ar à T_f\approx 77{,}3^\circ\mathrm{C} (estes valores vêm de tabelas padrão de propriedades do ar; estou usando aproximações razoáveis para a conta manual):
\rho \approx 1{,}007\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu \approx 2{,}30\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
k \approx 0{,}0335\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \Pr \approx 0{,}71.
Com esses valores calulo a viscosidade cinemática
\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{2{,}30\times 10^{-5}}{1{,}007} \approx 2{,}284\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Calculo o número de Reynolds baseado no diâmetro:
\mathrm{Re}_D = \frac{U_\infty D}{\nu} = \frac{10\cdot 0{,}0127}{2{,}284\times 10^{-5}} \approx 5559{,}4.
Explico: \mathrm{Re}_D indica se o escoamento é laminar/turbulento em torno do cilindro; aqui está na faixa de escoamento transicional/turbulento na envoltória do cilindro, válida para a correlação escolhida.

Passo 5

Apresento a correlação de Churchill e Bernstein para o número de Nusselt médio em escoamento transversal a um cilindro:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\Pr^{1/3}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}4}{\Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1 + \left(\dfrac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Agora calculo cada termo passo a passo com os números já obtidos.

Passo 6

Cálculo dos fatores da correlação (detalhado):
  • \mathrm{Re}_D^{1/2} = \sqrt{5559{,}4} \approx 74{,}59.
  • \Pr^{1/3} = 0{,}71^{1/3} \approx 0{,}892.
  • Primeiro denominador intermediário:
\left( \frac{0{,}4}{\Pr} \right)^{2/3} = \left(\frac{0{,}4}{0{,}71}\right)^{2/3}\approx 0{,}6828,
logo
\left[1 + \left(\frac{0{,}4}{\Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4} \approx (1{,}6828)^{1/4} \approx 1{,}139.
  • Montante principal:
\frac{0{,}62\mathrm{Re}_D^{1/2}\Pr^{1/3}}{\left[\cdots\right]^{1/4}} = \frac{0{,}62\cdot 74{,}59\cdot 0{,}892}{1{,}139} \approx 36{,}22.
  • Fator de correção com \mathrm{Re}_D/282000:
\left(\frac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8} = \left(\frac{5559{,}4}{282000}\right)^{5/8} \approx 0{,}0862,
então
\left[1 + \left(\frac{\mathrm{Re}_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} \approx (1{,}0862)^{4/5} \approx 1{,}0685.
  • Portanto a parte variável vale aproximadamente
36{,}22\cdot 1{,}0685 \approx 38{,}73.
  • Somando o 0{,}3 da fórmula:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}3 + 38{,}73 = 39{,}03\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Com \mathrm{Nu}_D calculado, obtenho o coeficiente convectivo médio h pela definição de Nusselt:
\mathrm{Nu}_D = \frac{h D}{k} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{\mathrm{Nu}_D\; k}{D}.
Substituindo os valores:
h = \frac{39{,}03\cdot 0{,}0335}{0{,}0127} \approx \frac{1{,}3075}{0{,}0127} \approx 102{,}96\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando de forma razoável: h \approx 103\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} pela correlação de Churchill-Bernstein.

Passo 8

Verificação consistente a partir do balanço de energia (modo experimental): se Q_{\text{conv}} = h A_s (T_s - T_\infty) então
h_{\text{exp}} = \frac{Q_{\text{conv}}}{A_s\,(T_s - T_\infty)}.
Calculo numérico:
\Delta T = T_s - T_\infty = 128{,}4 - 26{,}2 = 102{,}2\\ \mathrm{K},
h_{\text{exp}} = \frac{39{,}1}{0{,}0037488\cdot 102{,}2} \approx \frac{39{,}1}{0{,}38298} \approx 102{,}12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Resultado muito próximo do valor obtido pela correlação, o que mostra consistência entre a hipótese de 85\% da potência indo por convecção e a correlação de Churchill–Bernstein com as propriedades usadas.

Resposta

h_{\text{Churchill-Bernstein}} \approx 103\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
h_{\text{a partir do balanço de energia}} \approx 102{,}1\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}ç

Exercícios relacionados