A placa do exercício anterior foi utilizada para a determinação do coeficiente convectivo de transferência de calor em um dado tempo, quando a temperatura do corpo era de 127 { }^{\circ} \mathrm{C} e a taxa de transferência de calor era de -0,0465 \mathrm{~K} / \mathrm{s}. Desconsiderando o efeito da radiação, e as perdas de calor pela espessura da placa, calcule o coeficiente convectivo de transferência de calor pelo balanço de energia e pela equação que utiliza o número de Nusselt. Compare os dois resultados. \left(9,73 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}{ }^{\circ} \mathrm{C} ; 5,44 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
Dados: As propriedades da liga de alumínio são: \rho=2770 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; c_{p}=925 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}. As propriedades do ar na temperatura de filme são: \gamma=20,92 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; k=0,030 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}; c_{p}=1008,2 \mathrm{~J} / \mathrm{KgK} ; \mathrm{Pr}=0,700 ; \mu=2,075 \cdot 10^{-5} \mathrm{~Pa} \cdot s

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e do que pede (vamos organizar tudo bonitinho antes de começar a mexer nas fórmulas):
  • Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
    • Temperatura da placa no instante considerado: \,T_s = 127^\circ\mathrm{C}\,.
    • Taxa de variação da temperatura do corpo no instante considerado: \,\dfrac{dT}{dt} = -0{,}0465\\ \mathrm{K/s}\,. (o enunciado chama isso de “taxa de transferência de calor”, mas aqui é a taxa de variação da temperatura).
    • Propriedades da liga de alumínio (placa): \rho = 2770\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad c_p = 925\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Propriedades do ar (na temperatura de filme): \nu = 20{,}92\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad k = 0{,}030\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad c_p = 1008{,}2\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad \mathrm{Pr}=0{,}700,\quad \mu = 2{,}075\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s.}
  • O que o exercício pede:
    1. Calcular o coeficiente convectivo h por balanço de energia (método experimental/lumped).
    2. Calcular h usando a equação que envolve o número de Nusselt (método teórico de convecção natural).
    3. Comparar os dois resultados.
  • Informação que falta (essencial para obter números):
    • A espessura da placa \,t (ou, equivalente, a razão volume/área V/A). Sem isso não conseguimos calcular a massa por unidade de área.
    • Se as duas faces da placa trocam calor com o ar (área exposta total A_\text{total}=2A) ou apenas uma face (importante para o balanço de energia).
    • Temperatura do fluido ambiente \,T_\infty (para obter \Delta T = T_s - T_\infty e para o cálculo do número de Rayleigh / temperatura de filme).
    • Dimensão característica \,L e orientação da placa (vertical/horizontal), necessárias para escolher a correlação de Nusselt correta e calcular \mathrm{Ra}_L.
  • Conclusão deste passo: posso explicar passo a passo os dois métodos e dar as fórmulas finais e explicar como proceder numericamente — mas não é possível obter os valores numéricos finais sem as informações listadas acima. Vou então derivar tudo de forma didática e apontar precisamente o que você precisa inserir para obter os números finais.

Passo 2

Derivação e explicação didática do método por balanço de energia (modelo lumped / capacitância concentrada)
  • Ideia física simples (explicação “amigável”): a placa armazena energia térmica (tem massa e calor específico). A taxa com que sua temperatura cai é proporcional à potência térmica que sai por convecção para o ar. Ignoramos radiação e perdas pela espessura (como diz o enunciado).
  • Escrevemos o balanço energético:
    \text{variação de energia armazenada} = -\text{taxa de perda por convecção}.çãçã
    Em fórmulas:
    m c_p \frac{dT}{dt} = - h\,A_{\text{total}}\,(T_s - T_\infty).
    Onde:
    • m é a massa da placa (em kg).
    • c_p é o calor específico da placa (em J/(kg·K)).
    • \dfrac{dT}{dt} é a taxa de variação da temperatura (em K/s). Aqui é negativa porque está esfriando.
    • h é o coeficiente convectivo médio que queremos (em W/(m^2·K)).
    • A_{\text{total}} é a área total exposta ao ar (em m^2). Se ambas as faces estão expostas, A_{\text{total}} = 2A; se só uma face, A_{\text{total}} = A.
    • T_s é a temperatura da superfície da placa (em °C ou K) e T_\infty é a temperatura do ar ambiente.
  • Relacionando massa com geometria: se a placa tem área A e espessura t,
    m = \rho\,V = \rho\,A\,t.
    Substituindo em cima:
    \rho A t\, c_p \frac{dT}{dt} = - h\,A_{\text{total}}\,(T_s - T_\infty).
    Cancelando A (note que A_{\text{total}}/A aparece), obtemos a expressão para h:
    h = -\frac{\rho\,c_p\,t}{\left(\dfrac{A_{\text{total}}}{A}\right)}\cdot\frac{\dfrac{dT}{dt}}{(T_s - T_\infty)}.
    Mais explicitamente, definindo n = \dfrac{A_{\text{total}}}{A} (por exemplo n=2 para ambas as faces expostas, n=1 para só uma face):
    \boxed{\,h = -\frac{\rho\,c_p\,t}{n}\cdot\frac{dT/dt}{T_s - T_\infty}\, }.
  • Explicando cada termo e unidades:
    • \rho em \mathrm{kg/m^3}, c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)}, t em m → produto \rho c_p t tem unidade \mathrm{J/(m^2\cdot K)}.
    • (dT/dt) em K/s e (T_s-T_\infty) em K → razão tem unidade 1/s.
    • Resultado h em \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (porque J/s = W).
  • Observação importante: o enunciado diz “Desconsiderando … perdas pela espessura da placa”, o que é coerente com usar este modelo (lumped), mas normalmente checaríamos o número de Biot para garantir validade (Bi = h L_c / k_material). Como o valor de h ainda é desconhecido e a condutividade da liga não foi fornecida, essa checagem fica para depois. O modelo é o que o professor quer aqui.

Passo 3

Como aplicar numericamente o balanço (o passo-a-passo “coloca os números” — mas ainda precisamos dos dados que faltam)
  • Reescrevendo a fórmula prática que você deve usar na prova:
    \boxed{\,h = -\frac{\rho\,c_p\,t}{n}\cdot\frac{dT/dt}{T_s - T_\infty}\, }
    com:
    • \rho = 2770\\ \mathrm{kg/m^3},
    • c_p = 925\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • t = espessura da placa (m) — DADO FALTANTE,
    • n = 2 se ambas as faces expostas, ou n=1 se só uma face exposta — confirme qual é o caso,
    • dT/dt = -0{,}0465\\ \mathrm{K/s},
    • T_s - T_\infty = diferença de temperatura entre superfície e ar — precisa de \,T_\infty (DADO FALTANTE).
  • Procedimento na prova:
    1. Inserir t e n.
    2. Calcular o numerador \rho c_p t.
    3. Multiplicar por -dT/dt (lembre: -dT/dt é positivo porque dT/dt é negativo no resfriamento).
    4. Dividir por n (T_s - T_\infty).
    5. Resultado em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Exemplo (hipotético, só para ilustrar o método): se t=0{,}005\\ \mathrm{m}, n=2 e T_\infty=27^\circ\mathrm{C} então
    h = -\frac{2770\cdot 925\cdot 0{,}005}{2}\cdot\frac{-0{,}0465}{127-27}.
    Você pode calcular passo a passo para obter o número. (Mas atenção: esse exemplo usa valores que não foram dados no enunciado original — eu só coloquei para ilustrar como proceder.)

Passo 4

Derivação e explicação didática do método por número de Nusselt (correlação para convecção natural)
  • Ideia física: usamos correlações empíricas que ligam o número de Nusselt \mathrm{Nu} ao número de Rayleigh \mathrm{Ra} (que representa a força da convecção natural) e ao número de Prandtl \mathrm{Pr}. Depois obtém-se h por
    h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{L},
    onde L é a dimensão característica (por exemplo altura da placa para uma placa vertical).
  • Fórmula de correlação típica (correlação de Churchill e Chu para placa vertical, válida numa faixa ampla de \mathrm{Ra}_L):
    \mathrm{Nu}_L = 0{,}68 + \frac{0{,}670\,\mathrm{Ra}_L^{1/4}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}492}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{4/9}}.
    Aqui:
    • \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\cdot\mathrm{Pr} é o número de Rayleigh baseado em L.
    • \mathrm{Gr}_L = \dfrac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3}{\nu^2} é o número de Grashof.
    • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
    • \beta é o coeficiente de expansão térmica do fluido. Para gás ideal \beta \approx 1/T_{\text{film}} (em K^{-1}), com T_{\text{film}} = (T_s + T_\infty)/2 em Kelvin.
    • \nu é a viscosidade cinemática do ar (já dada).
    • \mathrm{Pr} já foi fornecido.
    • k é a condutividade do ar (já fornecida).
    • L é a dimensão característica (por ex. altura da placa quando vertical) — DADO FALTANTE.
  • Procedimento passo-a-passo (o que fazer na prova):
    1. Escolher L (a dimensão característica correta conforme orientação da placa).
    2. Calcular T_{\text{film}} = (T_s + T_\infty)/2 em Kelvin; então \beta \approx 1/T_{\text{film}}.
    3. Calcular \mathrm{Gr}_L = \dfrac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3}{\nu^2}.
    4. Calcular \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\cdot\mathrm{Pr}.
    5. Avaliar a correlação para \mathrm{Nu}_L (verificar se \mathrm{Ra}_L está na faixa de validade da correlação).
    6. Calcular h = \mathrm{Nu}_L\,k / L.
  • Observações:
    • Existem correlações diferentes para placas horizontais (superfícies quentes voltadas para cima ou para baixo) e para placas verticais. A escolha da correlação depende da orientação — outro dado que falta.
    • A temperatura ambiente T_\infty é necessária para \Delta T e para T_{\text{film}}.
    • A dimensão L é necessária; sem ela não é possível calcular \mathrm{Ra}_L nem \mathrm{Nu}, logo nem h.

Passo 5

Comparação conceitual entre os dois métodos e fontes de diferença nos resultados
  • O balanço de energia dá um valor experimental/efetivo de h no instante observado — é o coeficiente que reproduz a taxa medida de resfriamento sob as condições reais do ensaio.
  • O método da Nusselt fornece um valor predito por correlação teórica/empírica para as condições de convecção natural assumidas (orientação, dimensão, propriedades do fluido e temperatura de filme).
  • Possíveis razões para diferença entre os dois resultados:
    • Incertezas geométricas (espessura, área exposta, orientação) ou ambientais (temperatura ambiente).
    • Aplicabilidade da correlação de Nusselt (faixa de \mathrm{Ra} e condicionantes de escoamento — laminar vs turbulento).
    • Efeitos negligenciados: radiação (o enunciado pediu desprezar, mas na prática pode contribuir), perda de calor por condução para suportes, convecção forçada induzida por correntes externas, etc.
    • Erros de medição de \dfrac{dT}{dt}.
  • Em termos práticos: se você calcular os dois h com os mesmos dados geométricos e ambientais, e obtiver diferença, comente sobre essas possíveis causas na sua resposta da prova.

Passo 6

O que eu preciso que você (ou o enunciado anterior) me diga para eu calcular os números imediatamente (e exatamente como eu vou usar cada dado)
  • Espessura da placa \,t em metros — necessário para o balanço de energia.
  • Se ambas as faces estão expostas (confirmar n=2) ou somente uma (então n=1).
  • Temperatura ambiente \,T_\infty em °C — necessário em ambos os métodos.
  • Dimensão característica \,L (por exemplo altura da placa) e orientação (vertical/horizontal) — necessário para o método de Nusselt.
  • (Opcional) condutividade térmica do material da placa k_{\text{placa}} se você quiser checar o número de Biot para validar o modelo lumped.
Sem esses números não é possível produzir os valores numéricos finais solicitados. Se você preferir, mande agora os itens acima e eu calculo imediatamente, passo a passo, com as contas “mastigadas” para você.

Resposta

Não é possível calcular numericamente os valores de h por falta de dados essenciais: espessura da placa t (ou razão V/A), se ambas as faces estão expostas ( n), temperatura ambiente T_\infty e a dimensão característica L (e orientação) para o cálculo do número de Nusselt.

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