Um cilindro do motor de foguete pode ser fabricado a partir de 2 aços:
aço maraging com limite de escoamento de 1800 MPa e tenacidade à fratura de 50 MPaVm .
Um código relevante especifica uma tensão de projeto deve ser \sigma_{0} / 1,5. Calcule o tamanho mínimo de um defeito interno, tipo trinca, que pode levar a fratura frágil em serviço para cada um dos materiais e comente os resultados.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o tamanho mínimo de um defeito interno, tipo trinca, que possa levar à fratura frágil em serviço para cada um dos materiais possíveis.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Para o aço maraging: limite de escoamento \sigma_0 = 1800\\ \mathrm{MPa}.
  • Para o aço maraging: tenacidade à fratura K_{IC} = 50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}.
  • O código especifica que a tensão de projeto deve ser \sigma_{\text{proj}} = \sigma_0 / 1{,}5.
Observação importante (dados faltantes):
  • O enunciado menciona “2 aços”, mas só foram fornecidos dados (limite de escoamento e tenacidade) para o aço maraging. Não há dados do segundo aço (nem \sigma_0 nem K_{IC}). Portanto, não é possível calcular o tamanho crítico para o segundo material porque faltam as propriedades mecânicas necessárias. Vou calcular detalhadamente para o aço maraging e, ao final, explico a impossibilidade para o segundo material.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmula que vamos usar (aula rápida de mecânica da fratura):
  • A fratura frágil ocorre quando o fator de intensidade de tensões no ápice da trinca K_I atinge a tenacidade do material K_{IC}. A condição crítica é
K_I = K_{IC}.
  • Para uma trinca central em placa infinita (modelo conservador e comumente usado como estimativa inicial), o fator de intensidade vale
K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},
onde:
  • \sigma é a tensão aplicada (aqui usaremos a tensão de projeto),
  • a é o semi-comprimento da trinca (metade do comprimento da trinca; é o parâmetro que normalmente se resolve),
  • Y é um fator geométrico adimensional que depende da forma e da posição da trinca. Para uma trinca central em placa infinita toma-se Y=1 (estimativa conservadora).
  • Da equação K_{IC} = Y\,\sigma_{\text{proj}}\,\sqrt{\pi a} isolamos a:
a = \frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{IC}}{Y\,\sigma_{\text{proj}}}\right)^{2}.
  • Notas didáticas:
    • Aqui vou tomar a como o semi-comprimento (metade do comprimento da trinca), que é o uso padrão na fórmula acima. Se quiser o comprimento total da trinca, multiplica-se por 2.
    • Escolher Y=1 é conservador para uma trinca interna/central; se a geometria real for diferente (ex.: trinca penny-shaped ou superfície), Y muda e o resultado muda. Vou justificar essa escolha adiante.

Passo 3

Escolha do método e do fator geométrico Y
  • Método: usar Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) porque a fratura frágil é governada por K_{IC} e porque a tensão de projeto será menor que o limite de escoamento (vamos verificar), então a condição elástica é razoável.
  • Escolha de Y: como o enunciado fala genericamente em “defeito interno, tipo trinca” e não dá geometria, adotamos um modelo simples e conservador: trinca central em corpo elástico infinito com Y=1. Isso dá uma estimativa prudente do tamanho crítico. Se a trinca fosse penny-shaped (crack circular interno), o fator efetivo seria diferente e o resultado mudaria — eu menciono alternativas na discussão final.

Passo 4

Calcular a tensão de projeto para o aço maraging
  • O código diz \sigma_{\text{proj}} = \sigma_0 / 1{,}5.
  • Substituindo \sigma_0 = 1800\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_{\text{proj}} = \frac{1800\\ \mathrm{MPa}}{1{,}5} = 1200\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Montar a equação para o semi-comprimento crítico a
  • Usando a fórmula do Passo 2 com K_{IC}=50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}, Y=1 e \sigma_{\text{proj}}=1200\\ \mathrm{MPa}:
a = \frac{1}{\pi}\left(\frac{K_{IC}}{Y\,\sigma_{\text{proj}}}\right)^{2} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}}}{1\cdot 1200\\ \mathrm{MPa}}\right)^{2}.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado (faça assim na prova, sem calculadora difícil)
  • Primeiro calcule a razão dentro do parêntesis:
\frac{50}{1200} = 0{,}041666\ldots
  • Eleve ao quadrado:
\left(0{,}041666\ldots\right)^{2} = 0{,}001736111\ldots
  • Divida por \pi:
a = \frac{0{,}001736111\ldots}{\pi} \approx 0{,}0005529\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades praticáveis:
    • a \approx 0{,}0005529\\ \mathrm{m} = 0{,}5529\\ \mathrm{mm} (semi-comprimento da trinca).
    • Comprimento total da trinca aproximado: 2a \approx 0{,}0011058\\ \mathrm{m} = 1{,}1058\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Verificação de consistência do uso de LEFM (pequeno domínio plástico)
  • Condição para LEFM: zona plástica ao ápice da trinca deve ser pequena comparada com a. Estimativa da zona plástica sob condição de tensão (plane stress) é
r_p \approx \frac{1}{2\pi}\left(\frac{K_I}{\sigma_y}\right)^{2},
onde aqui \sigma_y=\sigma_0=1800\\ \mathrm{MPa} e usamos K_I\approx K_{IC}=50\\ \mathrm{MPa}\sqrt{\mathrm{m}} na verificação conservadora.
  • Calcule:
\frac{K_I}{\sigma_y}=\frac{50}{1800}=0{,}027777\ldots
\left(\frac{50}{1800}\right)^{2}=0{,}000771605\ldots
r_p \approx \frac{1}{2\pi}\times 0{,}000771605\ldots \approx 0{,}0001227\\ \mathrm{m}=0{,}1227\\ \mathrm{mm}.
  • Comparação: r_p\approx 0{,}123\\ \mathrm{mm} é bem menor que a\approx 0{,}553\\ \mathrm{mm}. Logo, a hipótese de pequeno domínio plástico (e portanto o uso de LEFM) é razoável.

Passo 8

Interpretação e comentários (o que isso significa na prática)
  • Resultado para o aço maraging: uma trinca interna com semi-comprimento de aproximadamente 0{,}553\\ \mathrm{mm} (ou comprimento total \approx 1{,}106\\ \mathrm{mm}) é suficiente, em presença da tensão de projeto, para que K_I alcance K_{IC} e ocorrer fratura frágil.
  • Comentários práticos:
    • Esse valor é pequeno: defeitos da ordem de metade a um milímetro são perigosos. Inspeção por métodos não-destrutivos (ultrassom, radiografia) deve ter sensibilidade adequada para detectar defeitos menores que esse limite.
    • Como o resultado depende fortemente da geometria do defeito e do fator Y, para outros formatos (por exemplo trinca penny-shaped interna) o tamanho crítico pode mudar — normalmente considera-se o modelo que favoreça o pior caso (maior tendência à fratura).
    • A alta tenacidade melhora bastante o tamanho crítico; materiais com menor K_{IC} teriam tamanhos críticos ainda menores (mais perigosos).
    • Reforço: usamos \sigma_{\text{proj}}=\sigma_0/1{,}5 conforme o código. Se o projeto aceitasse tensões maiores, o tamanho crítico diminuiria com \sigma^{-2}.

Passo 9

Impossibilidade de calcular para o segundo material
  • Como já observei no Passo 1, os dados do segundo aço não foram fornecidos no enunciado (faltam \sigma_0 e K_{IC} do segundo material). Sem esses valores não há como aplicar a fórmula acima e obter um tamanho crítico. Portanto não posso fornecer o número para o segundo material.

Resposta

Maraging: semi-comprimento crítico a \approx 0{,}0005529\\ \mathrm{m} (≈ 0{,}5529\\ \mathrm{mm}); comprimento total crítico 2a \approx 0{,}0011058\\ \mathrm{m} (≈ 1{,}1058\\ \mathrm{mm}).
Segundo material: não é possível calcular — faltam \sigma_{0} e K_{IC} do segundo aço.

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