- V 5 - Um corpo de prova com seção transversal retangular de 25 mm de largura, quando submetido a um ensaio de flexão, apresentou um momento de inércia igual a
. Isto ocorreu sob a aplicação de uma carga com intensidade de 20 N . Sabendo que o módulo de elasticidade do corpo de prova foi de 21.031
, além de seu comprimento ser 100 vezes maior que a medida da altura da sua seção transversal, determine: ( 2,0 pontos)
a) O momento de inércia do corpo de prova.
b) O comprimento entre a linha neutra e a superficie do corpo de prova.
c) O módulo de resistência da seção transversal do corpo de prova.
d) O momento fletor do corpo de prova.
e) A tensão de flexão do corpo de prova.
a) O momento de inércia do corpo de prova.
b) O comprimento entre a linha neutra e a superficie do corpo de prova.
c) O módulo de resistência da seção transversal do corpo de prova.
d) O momento fletor do corpo de prova.
e) A tensão de flexão do corpo de prova.
Passo 1
Vamos identificar certinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (vou escrever cada número/variável em TeX para ficar claro):
- largura da seção transversal:
. - foi informado que a seção retangular “apresentou um momento de inércia igual a
”. Vou usar essa informação explicitamente. - carga aplicada:
. - módulo de elasticidade:
. (Mais adiante faço a conversão para se precisar). - comprimento do corpo de prova:
altura da seção transversal (ou seja, ). - seção retangular: altura desconhecida
(queremos encontrá-la indiretamente).
O que o enunciado pede (lista de itens):
a) O momento de inércia do corpo de prova.
b) O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova (distância da linha neutra até fibra extrema).
c) O módulo de resistência da seção transversal (seção resistente).
d) O momento fletor do corpo de prova.
e) A tensão de flexão do corpo de prova.
a) O momento de inércia do corpo de prova.
b) O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova (distância da linha neutra até fibra extrema).
c) O módulo de resistência da seção transversal (seção resistente).
d) O momento fletor do corpo de prova.
e) A tensão de flexão do corpo de prova.
Observação: o enunciado não descreve explicitamente o esquema de carregamento (por exemplo, se é ensaio de três pontos, quatro pontos, etc.). Vou justificar a escolha do esquema no passo em que precisar calcular o momento fletor.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o momento de inércia de uma seção retangular com suas dimensões. Para uma seção retangular de largura
e altura
, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro (linha neutra, eixo horizontal) é dado por:
Explicando essa fórmula de um jeito simples: o segundo momento de área (momento de inércia da área) mede como a área está distribuída em relação ao eixo; para o retângulo a contribuição cresce com o cubo da altura porque as fibras mais distantes do eixo têm efeito muito maior. Na fórmula,
é a largura (medida paralela ao eixo neutro) e
é a altura (medida perpendicular ao eixo neutro).
Já foi informado que
e
. Vamos usar a fórmula para encontrar
.
Passo 3
Resolver a equação para
:
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Tomando raiz cúbica:
Ótimo — a altura da seção é
. Isso também reconfirma o momento de inércia: se você plugasse
e
na fórmula
obtém exatamente
.
Passo 4
Agora calculamos a distância entre a linha neutra e a superfície (a fibra mais externa). Para uma seção retangular homogênea, a linha neutra passa pelo centro geométrico, então a distância até a superfície (metade da altura) é
Esse é o valor que entra na fórmula da tensão de flexão (quando usamos
).
Passo 5
O módulo de resistência (também chamado de módulo de seção, seção resistente) é definido como
onde
é o momento de inércia e
é a distância máxima ao eixo neutro. Substituindo
e
:
Interpretação prática:
é um parâmetro que relaciona momento fletor e tensão máxima por
. É muito usado porque já junta
e
em um só número.
Passo 6
Agora precisamos do momento fletor
. O enunciado não especifica o esquema de ensaio. Em ensaios de flexão comuns em materiais (ensaio de flexão simples) costuma-se usar o ensaio de três pontos: uma viga simplesmente apoiada com um carregamento único concentrado
no meio do vão
. Para esse caso clássico o momento máximo (no centro) é
Justificativa breve da escolha: o enunciado menciona “ensaio de flexão” sem detalhar; o ensaio de três pontos é o procedimento padrão em muitas normas para determinar resistência à flexão e é o caso mais comum em exercícios didáticos. Portanto uso
. Se o seu professor esperava outro esquema (por exemplo, quatro pontos), o valor do momento mudaria; mas para três pontos a fórmula acima é a correta.
Precisamos do comprimento
. Lembrando que
e já achamos
, então
Agora calculamos o momento:
Em unidades maiores isso é
Passo 7
Finalmente calculamos a tensão de flexão máxima usando a fórmula clássica da resistência à flexão (hipótese de Bernoulli — fibras permanecem planas):
Substituindo
,
,
:
Essa é a tensão em unidades
(que coincide com MPa:
).
Se quisermos expressar essa tensão na mesma unidade do módulo de elasticidade dado (
), convertemos usando
. Assim
Passo 8
Resumo dos resultados intermediários importantes (já calculados):
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)