• V 5 - Um corpo de prova com seção transversal retangular de 25 mm de largura, quando submetido a um ensaio de flexão, apresentou um momento de inércia igual a 450 \mathrm{~mm}^{4}. Isto ocorreu sob a aplicação de uma carga com intensidade de 20 N . Sabendo que o módulo de elasticidade do corpo de prova foi de 21.031 \mathrm{kgf} / \mathrm{mm}^{2}, além de seu comprimento ser 100 vezes maior que a medida da altura da sua seção transversal, determine: ( 2,0 pontos)
    a) O momento de inércia do corpo de prova.
    b) O comprimento entre a linha neutra e a superficie do corpo de prova.
    c) O módulo de resistência da seção transversal do corpo de prova.
    d) O momento fletor do corpo de prova.
    e) A tensão de flexão do corpo de prova.

Passo 1

Vamos identificar certinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (vou escrever cada número/variável em TeX para ficar claro):
  • largura da seção transversal: b = 25\\ \mathrm{mm}.
  • foi informado que a seção retangular “apresentou um momento de inércia igual a 450\\ \mathrm{mm}^4”. Vou usar essa informação explicitamente.
  • carga aplicada: P = 20\\ \mathrm{N}.
  • módulo de elasticidade: E = 21{,}031\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^2. (Mais adiante faço a conversão para \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 se precisar).
  • comprimento do corpo de prova: L = 100 \times altura da seção transversal (ou seja, L = 100\,h).
  • seção retangular: altura desconhecida h (queremos encontrá-la indiretamente).
O que o enunciado pede (lista de itens):
a) O momento de inércia do corpo de prova.
b) O comprimento entre a linha neutra e a superfície do corpo de prova (distância da linha neutra até fibra extrema).
c) O módulo de resistência da seção transversal (seção resistente).
d) O momento fletor do corpo de prova.
e) A tensão de flexão do corpo de prova.
Observação: o enunciado não descreve explicitamente o esquema de carregamento (por exemplo, se é ensaio de três pontos, quatro pontos, etc.). Vou justificar a escolha do esquema no passo em que precisar calcular o momento fletor.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o momento de inércia de uma seção retangular com suas dimensões. Para uma seção retangular de largura b e altura h, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro (linha neutra, eixo horizontal) é dado por:
I = \frac{b\,h^{3}}{12}.
Explicando essa fórmula de um jeito simples: o segundo momento de área (momento de inércia da área) mede como a área está distribuída em relação ao eixo; para o retângulo a contribuição cresce com o cubo da altura porque as fibras mais distantes do eixo têm efeito muito maior. Na fórmula, b é a largura (medida paralela ao eixo neutro) e h é a altura (medida perpendicular ao eixo neutro).
Já foi informado que I = 450\\ \mathrm{mm}^4 e b = 25\\ \mathrm{mm}. Vamos usar a fórmula para encontrar h.

Passo 3

Resolver a equação para h:
\frac{b\,h^{3}}{12} = 450.
Substituindo b=25\\ \mathrm{mm}:
\frac{25\,h^{3}}{12} = 450.
Multiplicando ambos os lados por 12:
25\,h^{3} = 12 \times 450 = 5400.
Dividindo por 25:
h^{3} = \frac{5400}{25} = 216.
Tomando raiz cúbica:
h = \sqrt[3]{216} = 6\\ \mathrm{mm}.
Ótimo — a altura da seção é h = 6\\ \mathrm{mm}. Isso também reconfirma o momento de inércia: se você plugasse b=25 e h=6 na fórmula I=\dfrac{b h^3}{12} obtém exatamente 450\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 4

Agora calculamos a distância entre a linha neutra e a superfície (a fibra mais externa). Para uma seção retangular homogênea, a linha neutra passa pelo centro geométrico, então a distância até a superfície (metade da altura) é
c = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3\\ \mathrm{mm}.
Esse é o valor que entra na fórmula da tensão de flexão (quando usamos \sigma = \dfrac{M\,c}{I}).

Passo 5

O módulo de resistência (também chamado de módulo de seção, seção resistente) é definido como
W = \frac{I}{c},
onde I é o momento de inércia e c é a distância máxima ao eixo neutro. Substituindo I=450\\ \mathrm{mm}^4 e c=3\\ \mathrm{mm}:
W = \frac{450}{3} = 150\\ \mathrm{mm}^3.
Interpretação prática: W é um parâmetro que relaciona momento fletor e tensão máxima por \sigma_{\max} = \dfrac{M}{W}. É muito usado porque já junta I e c em um só número.

Passo 6

Agora precisamos do momento fletor M. O enunciado não especifica o esquema de ensaio. Em ensaios de flexão comuns em materiais (ensaio de flexão simples) costuma-se usar o ensaio de três pontos: uma viga simplesmente apoiada com um carregamento único concentrado P no meio do vão L. Para esse caso clássico o momento máximo (no centro) é
M_{\max} = \frac{P\,L}{4}.
Justificativa breve da escolha: o enunciado menciona “ensaio de flexão” sem detalhar; o ensaio de três pontos é o procedimento padrão em muitas normas para determinar resistência à flexão e é o caso mais comum em exercícios didáticos. Portanto uso M = P L /4. Se o seu professor esperava outro esquema (por exemplo, quatro pontos), o valor do momento mudaria; mas para três pontos a fórmula acima é a correta.
Precisamos do comprimento L. Lembrando que L = 100\,h e já achamos h = 6\\ \mathrm{mm}, então
L = 100\times 6 = 600\\ \mathrm{mm}.
Agora calculamos o momento:
M = \frac{P\,L}{4} = \frac{20\\ \mathrm{N}\times 600\\ \mathrm{mm}}{4} = 20 \times 150 = 3000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Em unidades maiores isso é
M = 3000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 3{,}000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 3{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Finalmente calculamos a tensão de flexão máxima usando a fórmula clássica da resistência à flexão (hipótese de Bernoulli — fibras permanecem planas):
\sigma_{\max} = \frac{M\,c}{I}.
Substituindo M=3000\\ \mathrm{N\cdot mm}, c=3\\ \mathrm{mm}, I=450\\ \mathrm{mm}^4:
\sigma_{\max} = \frac{3000 \times 3}{450} = \frac{9000}{450} = 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.
Essa é a tensão em unidades \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 (que coincide com MPa: 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 = 20\\ \mathrm{MPa}).
Se quisermos expressar essa tensão na mesma unidade do módulo de elasticidade dado ( \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^2), convertemos usando 1\\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\\ \mathrm{N}. Assim
\sigma_{\max} = \frac{20}{9{,}80665}\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^2 \approx 2{,}039\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^2.

Passo 8

Resumo dos resultados intermediários importantes (já calculados):
h = 6\\ \mathrm{mm},\quad c = 3\\ \mathrm{mm},\quad L = 600\\ \mathrm{mm},\quad I = 450\\ \mathrm{mm}^4,\quad W = 150\\ \mathrm{mm}^3,\quad M = 3000\\ \mathrm{N\cdot mm},\quad \sigma_{\max} = 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2.

Resposta

a) I = 450\\ \mathrm{mm}^4
b) c = 3\\ \mathrm{mm}
c) W = 150\\ \mathrm{mm}^3
d) M = 3000\\ \mathrm{N\cdot mm} = 3{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}
e) \sigma_{\max} = 20\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 \approx 2{,}039\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{mm}^2

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