Um cilindro com um pistão móvel contém 4,00 litros de um gás a
e 5,00 bar. O pistão move-se lentamente para comprimir o gás até 8,00 bar.
(a) Considerando o gás dentro do cilindro como o sistema e desprezando
, escreva e simplifique o balanço de energia para um sistema fechado. Não admita que o processo é isotérmico nesta parte.
(b) Suponha agora que o processo é realizado de forma isotérmica e que o trabalho de compressão feito sobre o gás é igual a
bar. Se o gás é ideal, de forma que
é função apenas de
, quanto calor (em joules) é transferido de ou para (estabeleça qual) as vizinhanças? (Use a tabela de valores da constante dos gases para determinar o fator necessário para converter
-bar a joules.)
(c) Suponha que o processo é adiabático e que
aumenta com o aumento de
. A temperatura final do sistema será maior, menor ou igual a
? (Justifique resumidamente o seu raciocínio.)
(a) Considerando o gás dentro do cilindro como o sistema e desprezando
(b) Suponha agora que o processo é realizado de forma isotérmica e que o trabalho de compressão feito sobre o gás é igual a
(c) Suponha que o processo é adiabático e que
Passo 1
O enunciado dá um cilindro com pistão móvel contendo um gás e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Volume inicial
. - Temperatura inicial
. - Pressão inicial
. - Pressão final
. - No item (b) é dado: trabalho de compressão feito sobre o gás
. - Em (b) o gás é ideal e o processo é isotérmico.
- Em (c) considerar processo adiabático e que a energia interna molar
aumenta com a temperatura (ou seja, cresce quando cresce).
Perguntas:
(a) Escrever e simplificar o balanço de energia para um sistema fechado, desprezando . Não admitir isotermicidade aqui.
(b) Considerando processo isotérmico e gás ideal (logo depende só de
), e sabendo que
, calcular o calor trocado (em joules) e dizer se é para ou da vizinhança. Use a relação de conversão de
para
.
(c) Supondo processo adiabático e que aumenta com
, dizer se a temperatura final será maior, menor ou igual a
e justificar resumidamente.
(a) Escrever e simplificar o balanço de energia para um sistema fechado, desprezando
(b) Considerando processo isotérmico e gás ideal (logo
(c) Supondo processo adiabático e que
Passo 2
Escrever a forma geral do primeiro princípio (energia) para um sistema fechado e explicar variáveis e convenções de sinais.
Forma geral do balanço para sistema fechado:
Aqui:
-
é a variação da energia total do sistema. -
é o calor transferido para o sistema (positivo se entra no sistema). -
é o trabalho realizado pelo sistema sobre as vizinhanças (positivo quando o sistema realiza trabalho).
Expandindo a energia total:
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema, -
é a variação da energia cinética do centro de massa, -
é a variação da energia potencial (por exemplo, devido a elevação).
O enunciado pede para desprezar
. Substituindo:
Passo 3
Explicar o termo de trabalho usado aqui e como escrever o trabalho de fronteira (pistão).
Para um processo com pistão o trabalho de fronteira (trabalho de pressão–volume), na forma reversible/quase-estático, é
onde:
-
é o trabalho realizado pelo sistema (igual ao do balanço), -
é a pressão do sistema (ou pressão externa que atua no pistão, em processo reversível igual aos valores do sistema), -
é o volume.
Observação sobre sinais: se o processo é compressão,
e o integral
é negativo — ou seja,
(trabalho feito pelo sistema) será negativo. O trabalho feito sobre o sistema
tem relação
Passo 4
Aplicar a aproximação apropriada dada no enunciado e simplificar ainda mais o balanço (sem assumir isotermicidade).
O enunciado diz que “o pistão move-se lentamente”, o que implica que as velocidades são pequenas e mudanças na energia cinética são desprezíveis, isto é
. Com isso, a equação do Passo 2 vira:
Esta é a forma simplificada pedida em (a): variação da energia interna igual ao calor entrada menos o trabalho realizado pelo sistema. Não fiz qualquer hipótese de isotermicidade aqui — apenas desprezei
e
(esta última por movimento lento).
Passo 5
Resolver (b): usar isotermicidade e gás ideal para relacionar
e
; interpretar o sinal com o dado do enunciado; converter unidades para joules.
Para processo isotérmico do gás ideal: a energia interna
depende apenas da temperatura. Como a temperatura não muda em um processo isotérmico, temos
Inserindo na equação do Passo 4:
Portanto, o calor trocado
é igual ao trabalho realizado pelo sistema
.
O enunciado dá o trabalho de compressão feito sobre o gás:
. Usando a relação entre
e
:
Logo
Agora converter
para joules. Explicando a conversão:
e
. Então
Aplicando ao valor dado:
Interpretação do sinal:
significa que o calor saiu do sistema para as vizinhanças. Em palavras: na compressão isotérmica do gás ideal, o trabalho feito sobre o gás (7,65 L·bar) é removido como calor para manter a temperatura constante; assim 765 J foram transferidos do sistema para as vizinhanças.
Passo 6
Comentário didático rápido para fixar a ideia (útil na prova): por que
e não
?
- A equação
diz que se o sistema não muda , o calor que entra deve igualar o trabalho que o sistema realiza. - Aqui, como comprimimos, o trabalho é feito sobre o sistema (não pelo sistema), então o trabalho na convenção do balanço (
, trabalho pelo sistema) é negativo. Isso faz negativo também: calor sai do sistema. - Resumindo com sinais:
(trabalho sobre o sistema) implica ; então .
Passo 7
Resolver (c): adiabático e
aumenta com
— o que acontece com a temperatura final?
Para processo adiabático
. A partir da equação simplificada do Passo 4:
Novamente, durante compressão o trabalho realizado pelo sistema
é negativo (pois trabalho é feito sobre o sistema). Assim
é positivo, o que implica
.
Como
(energia interna por quantidade fixa) aumenta quando a temperatura aumenta,
implica que a temperatura final
é maior que a temperatura inicial
. Portanto a temperatura final será maior que
.
Explicação em palavras: sem troca de calor, o trabalho feito sobre o gás aumenta sua energia interna, elevando sua temperatura.
Resposta
(a)
.\n
(b) (ou seja,
foram transferidos do sistema para as vizinhanças).\n
(c) A temperatura final será maior que .
(b)
(c) A temperatura final será maior que