Um cilindro com um pistão móvel contém 4,00 litros de um gás a 30^{\circ} \mathrm{C} e 5,00 bar. O pistão move-se lentamente para comprimir o gás até 8,00 bar.
(a) Considerando o gás dentro do cilindro como o sistema e desprezando \Delta E_{p}, escreva e simplifique o balanço de energia para um sistema fechado. Não admita que o processo é isotérmico nesta parte.
(b) Suponha agora que o processo é realizado de forma isotérmica e que o trabalho de compressão feito sobre o gás é igual a 7,65 \mathrm{~L} bar. Se o gás é ideal, de forma que \hat{U} é função apenas de T, quanto calor (em joules) é transferido de ou para (estabeleça qual) as vizinhanças? (Use a tabela de valores da constante dos gases para determinar o fator necessário para converter L-bar a joules.)
(c) Suponha que o processo é adiabático e que \hat{U} aumenta com o aumento de T. A temperatura final do sistema será maior, menor ou igual a 30^{\circ} \mathrm{C} ? (Justifique resumidamente o seu raciocínio.)

Passo 1

O enunciado dá um cilindro com pistão móvel contendo um gás e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Volume inicial V_1 = 4{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura inicial T_1 = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial P_1 = 5{,}00\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final P_2 = 8{,}00\\ \mathrm{bar}.
  • No item (b) é dado: trabalho de compressão feito sobre o gás W_{\text{on}} = 7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}.
  • Em (b) o gás é ideal e o processo é isotérmico.
  • Em (c) considerar processo adiabático e que a energia interna molar \hat{U} aumenta com a temperatura (ou seja, U cresce quando T cresce).
Perguntas:
(a) Escrever e simplificar o balanço de energia para um sistema fechado, desprezando \Delta E_p. Não admitir isotermicidade aqui.
(b) Considerando processo isotérmico e gás ideal (logo U depende só de T), e sabendo que W_{\text{on}}=7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}, calcular o calor trocado (em joules) e dizer se é para ou da vizinhança. Use a relação de conversão de \mathrm{L\cdot bar} para \mathrm{J}.
(c) Supondo processo adiabático e que \hat{U} aumenta com T, dizer se a temperatura final será maior, menor ou igual a 30^\circ\mathrm{C} e justificar resumidamente.

Passo 2

Escrever a forma geral do primeiro princípio (energia) para um sistema fechado e explicar variáveis e convenções de sinais.
Forma geral do balanço para sistema fechado:
\Delta E_{\text{sys}} = Q - W.
Aqui:
  • \Delta E_{\text{sys}} é a variação da energia total do sistema.
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo se entra no sistema).
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre as vizinhanças (positivo quando o sistema realiza trabalho).
Expandindo a energia total:
\Delta E_{\text{sys}} = \Delta U + \Delta E_k + \Delta E_p,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema,
  • \Delta E_k é a variação da energia cinética do centro de massa,
  • \Delta E_p é a variação da energia potencial (por exemplo, devido a elevação).
O enunciado pede para desprezar \Delta E_p. Substituindo:
\Delta U + \Delta E_k = Q - W.

Passo 3

Explicar o termo de trabalho usado aqui e como escrever o trabalho de fronteira (pistão).
Para um processo com pistão o trabalho de fronteira (trabalho de pressão–volume), na forma reversible/quase-estático, é
W_b = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV,
onde:
  • W_b é o trabalho realizado pelo sistema (igual ao W do balanço),
  • P é a pressão do sistema (ou pressão externa que atua no pistão, em processo reversível igual aos valores do sistema),
  • V é o volume.
Observação sobre sinais: se o processo é compressão, V_2<V_1 e o integral \int_{V_1}^{V_2} P\,dV é negativo — ou seja, W (trabalho feito pelo sistema) será negativo. O trabalho feito sobre o sistema W_{\text{on}} tem relação
W_{\text{on}} = -W.

Passo 4

Aplicar a aproximação apropriada dada no enunciado e simplificar ainda mais o balanço (sem assumir isotermicidade).
O enunciado diz que “o pistão move-se lentamente”, o que implica que as velocidades são pequenas e mudanças na energia cinética são desprezíveis, isto é \Delta E_k \approx 0. Com isso, a equação do Passo 2 vira:
\Delta U = Q - W.
Esta é a forma simplificada pedida em (a): variação da energia interna igual ao calor entrada menos o trabalho realizado pelo sistema. Não fiz qualquer hipótese de isotermicidade aqui — apenas desprezei \Delta E_p e \Delta E_k (esta última por movimento lento).

Passo 5

Resolver (b): usar isotermicidade e gás ideal para relacionar Q e W; interpretar o sinal com o dado do enunciado; converter unidades para joules.
Para processo isotérmico do gás ideal: a energia interna U depende apenas da temperatura. Como a temperatura não muda em um processo isotérmico, temos
\Delta U = 0.
Inserindo na equação do Passo 4:
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Portanto, o calor trocado Q é igual ao trabalho realizado pelo sistema W.
O enunciado dá o trabalho de compressão feito sobre o gás: W_{\text{on}} = 7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}. Usando a relação entre W_{\text{on}} e W:
W = -W_{\text{on}} = -7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}.
Logo
Q = W = -7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}.
Agora converter \mathrm{L\cdot bar} para joules. Explicando a conversão: 1\\ \mathrm{bar} = 10^5\\ \mathrm{Pa} e 1\\ \mathrm{L} = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. Então
1\\ \mathrm{L\cdot bar} = (10^{-3}\\ \mathrm{m^3})\times(10^5\\ \mathrm{Pa}) = 10^2\\ \mathrm{J} = 100\\ \mathrm{J}.
Aplicando ao valor dado:
Q = -7{,}65\\ \mathrm{L\cdot bar}\times 100\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{L\cdot bar}} = -765\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: Q<0 significa que o calor saiu do sistema para as vizinhanças. Em palavras: na compressão isotérmica do gás ideal, o trabalho feito sobre o gás (7,65 L·bar) é removido como calor para manter a temperatura constante; assim 765 J foram transferidos do sistema para as vizinhanças.

Passo 6

Comentário didático rápido para fixar a ideia (útil na prova): por que Q=-765\\ \mathrm{J} e não +765\\ \mathrm{J}?
  • A equação 0=\Delta U=Q-W diz que se o sistema não muda U, o calor que entra deve igualar o trabalho que o sistema realiza.
  • Aqui, como comprimimos, o trabalho é feito sobre o sistema (não pelo sistema), então o trabalho na convenção do balanço ( W, trabalho pelo sistema) é negativo. Isso faz Q negativo também: calor sai do sistema.
  • Resumindo com sinais: W_{\text{on}}>0 (trabalho sobre o sistema) implica W=-W_{\text{on}}<0; então Q=W<0.

Passo 7

Resolver (c): adiabático e \hat{U} aumenta com T — o que acontece com a temperatura final?
Para processo adiabático Q=0. A partir da equação simplificada do Passo 4:
\Delta U = Q - W = -W.
Novamente, durante compressão o trabalho realizado pelo sistema W é negativo (pois trabalho é feito sobre o sistema). Assim -W é positivo, o que implica \Delta U>0.
Como \hat{U} (energia interna por quantidade fixa) aumenta quando a temperatura aumenta, \Delta U>0 implica que a temperatura final T_2 é maior que a temperatura inicial T_1. Portanto a temperatura final será maior que 30^\circ\mathrm{C}.
Explicação em palavras: sem troca de calor, o trabalho feito sobre o gás aumenta sua energia interna, elevando sua temperatura.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta U = Q - W.\n
(b) Q = -765\\ \mathrm{J} (ou seja, 765\\ \mathrm{J} foram transferidos do sistema para as vizinhanças).\n
(c) A temperatura final será maior que 30^\circ\mathrm{C}.

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