Se um cilindro de raio
centrado em
possui uma densidade de corrente não uniforme definida como
, (a) qual o fluxo magnético que passa em uma região definida por
e
? (b) Qual deve ser o valor do raio do cilindro para que o fluxo magnético não ultrapasse
?
Passo 1
Enunciado e dados (interpretação necessária). O enunciado dá um vetor
com unidade indicada como
, e pede (a) o “fluxo magnético” que passa por uma região definida por
e
, e (b) o valor do raio
para que esse fluxo não ultrapasse
.
Observação importante de interpretação (porque o enunciado está ambíguo): vou interpretar que o vetor dado é o vetor densidade de fluxo magnético (unidade
) e que a região pela qual se quer o fluxo é a face plana perpendicular ao eixo
limitada por
,
(ou seja, um setor radial no plano
constante). Também assumo que o intervalo
indica a altura do cilindro mas o fluxo através de uma face plana não depende de
; portanto calculamos o fluxo através de uma seção plana
constante do setor indicado. Não peço esclarecimentos: sigo essa interpretação para resolver.
Observação importante de interpretação (porque o enunciado está ambíguo): vou interpretar que o vetor dado é o vetor densidade de fluxo magnético
Passo 2
Fórmula geral do fluxo magnético e significado das grandezas. O fluxo magnético através de uma superfície
é
Aqui
é o vetor densidade de fluxo magnético (unidade
),
é o elemento vetorial de área apontando na direção normal à superfície, e a integral soma
sobre toda a superfície. Vamos aplicar isso numa superfície plana
constante (normal
).
Passo 3
Elemento de área em coordenadas cilíndricas e produto escalar. Para uma superfície em
constante, em coordenadas cilíndricas o elemento vetorial de área é
Explicando:
é a coordenada radial (distância ao eixo
),
é o ângulo azimutal; o elemento de área escalar é
e o vetor tem direção
. Então o integrando fica
, porque
.
Passo 4
Substituição do campo e expressão do integrando. Pelo enunciado (na nossa interpretação)
. Logo
Cada símbolo: o primeiro
vem de
, o segundo
vem do elemento de área
.
Passo 5
Limites de integração em
e
. Pela região dada (na minha interpretação)
vai de
até
e
vai de
até
. Convertemos os ângulos para radianos quando necessário:
A diferença angular é
Passo 6
Cálculo da integral em
. Integramos primeiro em
:
Passo 7
Integração em
e expressão final do fluxo (parte a). Agora multiplicamos pelo intervalo angular
:
Portanto o fluxo magnético através do setor radial pedido é
. A unidade é Weber (
) se
estiver em Tesla e
em metros.
Passo 8
Parte (b): condição para que o fluxo não ultrapasse
. Impondo
:
Isolando
:
Tirando a raiz cúbica:
Passo 9
Cálculo numérico do raio máximo. Avaliando numericamente:
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