Se um cilindro de raio r centrado em z possui uma densidade de corrente não uniforme definida como \vec{J}=2 \rho \vec{a}_{z} A / m^{2}, (a) qual o fluxo magnético que passa em uma região definida por \rho=2 r, 15^{\circ}<\varphi<23^{\circ} e 0<z<2,3 ? (b) Qual deve ser o valor do raio do cilindro para que o fluxo magnético não ultrapasse 1 n W b ?

Passo 1

Enunciado e dados (interpretação necessária). O enunciado dá um vetor \vec{J}=2\,\rho\,\vec{a}_{z} com unidade indicada como \mathrm{A/m^{2}}, e pede (a) o “fluxo magnético” que passa por uma região definida por \rho=2r,\;15^\circ<\varphi<23^\circ e 0<z<2,3, e (b) o valor do raio r para que esse fluxo não ultrapasse 1\\ \mathrm{nWb}.
Observação importante de interpretação (porque o enunciado está ambíguo): vou interpretar que o vetor dado é o vetor densidade de fluxo magnético \vec{B}=2\,\rho\,\vec{a}_{z} (unidade \mathrm{T}) e que a região pela qual se quer o fluxo é a face plana perpendicular ao eixo z limitada por 0\le\rho\le 2r, 15^\circ\le\varphi\le23^\circ (ou seja, um setor radial no plano z= constante). Também assumo que o intervalo 0<z<2{,}3 indica a altura do cilindro mas o fluxo através de uma face plana não depende de z; portanto calculamos o fluxo através de uma seção plana z= constante do setor indicado. Não peço esclarecimentos: sigo essa interpretação para resolver.

Passo 2

Fórmula geral do fluxo magnético e significado das grandezas. O fluxo magnético através de uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}.
Aqui \vec{B} é o vetor densidade de fluxo magnético (unidade \mathrm{T}), d\vec{S} é o elemento vetorial de área apontando na direção normal à superfície, e a integral soma \vec{B}\cdot d\vec{S} sobre toda a superfície. Vamos aplicar isso numa superfície plana z= constante (normal \vec{a}_z).

Passo 3

Elemento de área em coordenadas cilíndricas e produto escalar. Para uma superfície em z= constante, em coordenadas cilíndricas o elemento vetorial de área é
d\vec{S}=\vec{a}_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
Explicando: \rho é a coordenada radial (distância ao eixo z), \varphi é o ângulo azimutal; o elemento de área escalar é \rho\,d\rho\,d\varphi e o vetor tem direção \vec{a}_z. Então o integrando fica \vec{B}\cdot d\vec{S}=B_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi, porque \vec{B}=B_z\vec{a}_z.

Passo 4

Substituição do campo e expressão do integrando. Pelo enunciado (na nossa interpretação) \vec{B}=2\,\rho\,\vec{a}_z. Logo
\vec{B}\cdot d\vec{S}=(2\,\rho\,\vec{a}_z)\cdot(\vec{a}_z\,\rho\,d\rho\,d\varphi)=2\,\rho^2\,d\rho\,d\varphi.
Cada símbolo: o primeiro \rho vem de B_z=2\rho, o segundo \rho vem do elemento de área \rho\,d\rho\,d\varphi.

Passo 5

Limites de integração em \rho e \varphi. Pela região dada (na minha interpretação) \rho vai de 0 até 2r e \varphi vai de 15^\circ até 23^\circ. Convertemos os ângulos para radianos quando necessário:
15^\circ=\frac{\pi}{12},\qquad 23^\circ=\frac{23\pi}{180}.
A diferença angular é
\Delta\varphi=23^\circ-15^\circ=8^\circ=\frac{8\pi}{180}=\frac{2\pi}{45}.

Passo 6

Cálculo da integral em \rho. Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{2r} 2\,\rho^{2}\,d\rho =2\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2r} =2\cdot\frac{(2r)^{3}}{3} =2\cdot\frac{8r^{3}}{3} =\frac{16\,r^{3}}{3}.

Passo 7

Integração em \varphi e expressão final do fluxo (parte a). Agora multiplicamos pelo intervalo angular \Delta\varphi=\dfrac{2\pi}{45}:
\Phi =\left(\frac{16\,r^{3}}{3}\right)\left(\frac{2\pi}{45}\right) =\frac{32\pi\,r^{3}}{135}.
Portanto o fluxo magnético através do setor radial pedido é \displaystyle \Phi=\frac{32\pi}{135}\,r^{3}. A unidade é Weber ( \mathrm{Wb}) se \vec{B} estiver em Tesla e \rho,r em metros.

Passo 8

Parte (b): condição para que o fluxo não ultrapasse 1\\ \mathrm{nWb}. Impondo \Phi\le 1\\ \mathrm{nWb}=1\times 10^{-9}\\ \mathrm{Wb}:
\frac{32\pi\,r^{3}}{135}\le 1\times 10^{-9}.
Isolando r^{3}:
r^{3}\le \frac{135}{32\pi}\times 10^{-9}.
Tirando a raiz cúbica:
r\le\left(\frac{135}{32\pi}\times 10^{-9}\right)^{1/3}.

Passo 9

Cálculo numérico do raio máximo. Avaliando numericamente:
\frac{135}{32\pi}\times 10^{-9}\approx 1{,}342\times 10^{-9},
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r\le (1{,}342\times 10^{-9})^{1/3}\approx 1{,}10\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}10\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\displaystyle \Phi=\frac{32\pi}{135}\,r^{3}\\ \mathrm{Wb}\n \displaystyle r\le 1{,}10\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}

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