Um campo elétrico definido por
está presente em uma região de simetria cilíndrica onde
. Use a lei de Ampère para encontrar a intensidade de campo magnético.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado o campo elétrico constante
. - A condutividade elétrica depende do raio cilíndrico
e é . - A região tem simetria cilíndrica.
- Pergunta: usar a lei de Ampère para encontrar a intensidade do campo magnético
.
Informações úteis destacadas do enunciado:
-
está ao longo de e é uniforme. -
depende apenas de (simetria cilíndrica). - Unidade dada em
(kiloSiemens por metro) deve ser convertida para ao calcular correntes.
Passo 2
Primeiro passo físico: em um condutor com condutividade
e campo elétrico
estacionário, a densidade de corrente de condução é dada por
Explicando:
(A/m
) é a corrente por unidade de área;
(S/m) é a condutividade local;
(V/m) é o campo elétrico. A lei é local e simples: corrente local é condutividade vezes campo elétrico local.
Aqui, como
e
está ao longo de
, obtemos
Passo 3
Aplicando a lei integral de Ampère na forma apropriada para correntes de condução (regime estacionário, desprezando deslocamento elétrico):
onde
é a corrente total que atravessa a superfície limitada pela curva fechada
.
Escolhemos como caminho amperiano uma circunferência de raio
centrada no eixo (por simetria cilíndrica). Por simetria,
será tangencial, na direção
, e de módulo dependendo só de
:
. Assim a integral de linha vira
Passo 4
Agora precisamos do termo do lado direito: a corrente total
que atravessa a seção circular de raio
. Tomamos a superfície plana perpendicular a
(um disco de raio
). A corrente atravessando essa superfície é a integral da componente de
normal à superfície (aqui
) sobre o disco:
Em coordenadas cilíndricas o elemento de área é
. Como
, obtemos
Passo 5
Converter
de
para
:
Então
Substituindo na integral:
A integral angular dá um fator
, ficando
Passo 6
Calcular a integral radial. Seja
. A primitiva de
é conhecida (ou fazemos por integração por partes):
Avaliando de
a
:
Substituindo
e os fatores constantes:
Passo 7
Simplificar constantes numéricas. Note que
e
. Portanto
Simplificando
, obtemos
Passo 8
Voltar à lei de Ampère:
. Substituindo
:
Dividindo por
,
Explicando a unidade:
tem unidade
. Note que a expressão é finita em
: fazendo expansão para
mostraria
, portanto não há singularidade física.
A forma vetorial final (direção tangencial
) é