Um campo elétrico definido por \vec{E}=30 \vec{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m} está presente em uma região de simetria cilíndrica onde \sigma=1,5 e^{-150 \rho} \mathrm{kS} / \mathrm{m}. Use a lei de Ampère para encontrar a intensidade de campo magnético.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado o campo elétrico constante \vec{E}=30\\ \vec{a}_{z}\\ \mathrm{V/m}.
  • A condutividade elétrica depende do raio cilíndrico \rho e é \sigma=1{,}5\,e^{-150\rho}\\ \mathrm{kS/m}.
  • A região tem simetria cilíndrica.
  • Pergunta: usar a lei de Ampère para encontrar a intensidade do campo magnético \vec{H}(\rho).
Informações úteis destacadas do enunciado:
  • \vec{E} está ao longo de \vec{a}_{z} e é uniforme.
  • \sigma depende apenas de \rho (simetria cilíndrica).
  • Unidade dada em \mathrm{kS/m} (kiloSiemens por metro) deve ser convertida para \mathrm{S/m} ao calcular correntes.

Passo 2

Primeiro passo físico: em um condutor com condutividade \sigma(\rho) e campo elétrico \vec{E} estacionário, a densidade de corrente de condução é dada por
\vec{J}=\sigma(\rho)\,\vec{E}.
Explicando: \vec{J} (A/m ^2) é a corrente por unidade de área; \sigma (S/m) é a condutividade local; \vec{E} (V/m) é o campo elétrico. A lei é local e simples: corrente local é condutividade vezes campo elétrico local.
Aqui, como \vec{E}=30\,\vec{a}_z e \sigma(\rho) está ao longo de \vec{a}_z, obtemos
\vec{J}(\rho)=\sigma(\rho)\,30\,\vec{a}_z.

Passo 3

Aplicando a lei integral de Ampère na forma apropriada para correntes de condução (regime estacionário, desprezando deslocamento elétrico):
\oint_{\mathcal{C}}\vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa a superfície limitada pela curva fechada \mathcal{C}.
Escolhemos como caminho amperiano uma circunferência de raio \rho centrada no eixo (por simetria cilíndrica). Por simetria, \vec{H} será tangencial, na direção \vec{a}_{\varphi}, e de módulo dependendo só de \rho: \vec{H}=H_{\varphi}(\rho)\,\vec{a}_{\varphi}. Assim a integral de linha vira
\oint_{\mathcal{C}}\vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_{\varphi}(\rho)\,2\pi\rho.

Passo 4

Agora precisamos do termo do lado direito: a corrente total I_{\text{enc}} que atravessa a seção circular de raio \rho. Tomamos a superfície plana perpendicular a \vec{a}_z (um disco de raio \rho). A corrente atravessando essa superfície é a integral da componente de \vec{J} normal à superfície (aqui J_z) sobre o disco:
I_{\text{enc}}=\iint_{\text{disco}} \vec{J}\cdot \vec{a}_z \; dS.
Em coordenadas cilíndricas o elemento de área é dS=\rho'\,d\rho'\,d\varphi'. Como \vec{J}(\rho')= \sigma(\rho')\,30\,\vec{a}_z, obtemos
I_{\text{enc}}=30\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\rho} \sigma(\rho')\,\rho'\,d\rho'\,d\varphi'.

Passo 5

Converter \sigma de \mathrm{kS/m} para \mathrm{S/m}: \;1{,}5\,\mathrm{kS/m}=1{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{S/m}. Então
\sigma(\rho')=1{,}5\times10^{3}\,e^{-150\rho'}\\ \mathrm{S/m}.
Substituindo na integral:
I_{\text{enc}}=30\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\rho} \left(1{,}5\times10^{3} e^{-150\rho'}\right)\rho'\,d\rho'\,d\varphi'.
A integral angular dá um fator 2\pi, ficando
I_{\text{enc}}=30\cdot 2\pi \cdot 1{,}5\times10^{3}\int_{0}^{\rho} e^{-150\rho'}\rho'\,d\rho'.

Passo 6

Calcular a integral radial. Seja a=150. A primitiva de \rho'e^{-a\rho'} é conhecida (ou fazemos por integração por partes):
\int \rho' e^{-a\rho'}\,d\rho' = -\left(\frac{\rho'}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right)e^{-a\rho'} + C.
Avaliando de 0 a \rho:
\int_{0}^{\rho} \rho' e^{-a\rho'}\,d\rho' = \frac{1}{a^{2}}\left[1-(1+a\rho)e^{-a\rho}\right].
Substituindo a=150 e os fatores constantes:
I_{\text{enc}}=30\cdot 2\pi \cdot 1{,}5\times10^{3}\cdot \frac{1}{150^{2}}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right].

Passo 7

Simplificar constantes numéricas. Note que 150^{2}=22500 e 1{,}5\times10^{3}/22500= \dfrac{1{,}5}{22{,}5}=\dfrac{1}{15}. Portanto
I_{\text{enc}}=30\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{15}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right].
Simplificando 30/15=2, obtemos
I_{\text{enc}}=2\cdot 2\pi\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right]=4\pi\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right].

Passo 8

Voltar à lei de Ampère: H_{\varphi}(\rho)\,2\pi\rho = I_{\text{enc}}. Substituindo I_{\text{enc}}:
H_{\varphi}(\rho)\,2\pi\rho = 4\pi\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right].
Dividindo por 2\pi\rho,
H_{\varphi}(\rho)=\frac{4\pi}{2\pi\rho}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right]=\frac{2}{\rho}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right].
Explicando a unidade: \vec{H} tem unidade \mathrm{A/m}. Note que a expressão é finita em \rho=0: fazendo expansão para \rho\to 0 mostraria H_{\varphi}\to 0, portanto não há singularidade física.
A forma vetorial final (direção tangencial \vec{a}_{\varphi}) é
\vec{H}(\rho)=H_{\varphi}(\rho)\,\vec{a}_{\varphi}=\frac{2}{\rho}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right]\vec{a}_{\varphi}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \vec{H}(\rho)=\frac{2}{\rho}\left[1-(1+150\rho)e^{-150\rho}\right]\,\vec{a}_{\varphi}\\ \mathrm{A/m}

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