Em um cilindro sólido circular com aquecimento volumétrico uniforme e transferência de calor por convecção em sua superfície, como o fluxo térmico varia com o raio? Como a taxa de transferência de calor varia com o raio?
Passo 1
O enunciado fornece um cilindro sólido circular sujeito a aquecimento volumétrico uniforme e troca de calor por convecção na superfície externa. As perguntas são: (1) como o fluxo térmico varia com o raio? e (2) como a taxa de transferência de calor varia com o raio?\n
Informações relevantes que vamos usar (nomes e símbolos que eu defino aqui para ficar claro):\n
Informações relevantes que vamos usar (nomes e símbolos que eu defino aqui para ficar claro):\n
- Aquecimento volumétrico uniforme: taxa de geração de calor por unidade de volume
(unidade: ).\n - Condutividade térmica do material:
(unidade: ).\n - Raio externo do cilindro:
(unidade: m). Comprimento do cilindro: (unidade: m).\n - Convecção na superfície externa: coeficiente convectivo
e temperatura ambiente (usados só se precisarmos relacionar temperatura na superfície).\n - Variável radial:
com .\n
O enunciado pede essencialmente duas coisas para qualquer superfície cilíndrica de raio: (a) o fluxo térmico (densidade de fluxo, por unidade de área normal) em função de ; (b) a taxa de transferência de calor (potência atravessando a superfície cilíndrica de raio ) em função de .
Passo 2
Modelo físico e balanço de energia elementar (ideia geral antes de calcular):\n
- Em regime estacionário, a potência gerada dentro do volume de raio
deve ser igual à potência que atravessa a superfície cilíndrica de raio (pois não há acumulação de energia no regime estacionário). Isso é apenas conservação de energia para o volume interno.\n - A potência gerada no volume interno é a integral da geração volumétrica sobre o volume do cilindro de raio
e comprimento .\n - A potência atravessando a superfície cilíndrica de raio
é a densidade de fluxo radial (potência por área) multiplicada pela área lateral da superfície cilíndrica ( ).\n
Vou aplicar esse balanço quantitativamente no próximo passo.
Passo 3
Calcular a potência gerada no interior de um cilindro de raio
e comprimento
.\n
A geração volumétrica é (constante). O volume do cilindro de raio
e comprimento
é
. Portanto, a potência total gerada dentro desse volume é\n
A geração volumétrica é
Este é o total de watts gerados por unidade de tempo dentro do cilindro de raio
.
Passo 4
Aplicar o balanço de energia: em regime estacionário, a potência gerada dentro de
sai pela superfície cilíndrica de raio
. Logo a taxa de transferência de calor atravessando a superfície de raio
é igual à potência gerada dentro:\n
Isto responde diretamente a parte da pergunta sobre “taxa de transferência de calor” (a dependência com
é quadrática:
). Vou explorar consequências e escrever o fluxo (densidade) agora.
Passo 5
Definir o fluxo térmico (densidade de fluxo radial): por definição, o fluxo radial
(potência por unidade de área normal à superfície cilíndrica) é a potência atravessando a superfície dividida pela área lateral dessa superfície. A área lateral de um cilindro de raio
e comprimento
é
. Assim\n
Portanto o fluxo térmico varia linearmente com
(proporcional a
). Observe que
aqui é a magnitude do fluxo radial (potência por área); a direção é radial para fora (assumindo geração interna positiva e temperatura mais alta no interior).
Passo 6
Relacionar com a lei de Fourier e obter gradiente de temperatura (para entendimento completo e para o caso de precisar da temperatura):\n
A lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial, é
A lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial, é
onde
é o fluxo radial (por convenção, positivo para fora) e
é a temperatura. Usando o resultado do passo anterior temos\n
Isolando o gradiente:
Integrando em
para obter
: como
é uma função simples de
,
ou seja
Aqui
é a temperatura no eixo (
), constante de integração que seria determinada pela condição de contorno na superfície (convecção em
:
). Note que a forma do fluxo e da taxa são independentes de
e
— estas entram apenas na temperatura, não na conservação de energia que deu as dependências em
.
Passo 7
Interpretações físicas e pontos importantes (dicas para prova):\n
- A taxa de transferência de calor que atravessa a superfície cilíndrica de raio
é a energia gerada dentro do volume interno: isto é intuitivo e fácil de argumentar com um pequeno balanço de energia — use essa ideia na prova.\n - A dependência quadrática
vem diretamente da área do disco de raio (volume gerador) e é independente de e .\n - O fluxo por unidade de área
é zero no centro por simetria e cresce linearmente até a superfície. No extremo temos\n
e a taxa total retirada na superfície é
- Se a questão pedir o sinal, usando a lei de Fourier a relação completa é
, o que dá negativo (temperatura diminui para fora se a geração é positiva e é maior). Mas para dependência com normalmente se pede a magnitude, que é para o fluxo e para a taxa.\n - Um exercício de verificação simples: para uma geração volumétrica nula (
) o fluxo e a taxa internos são zero, como esperado.
Passo 8
Resumo final prático para anotar na prova (forma pronta para usar):\n
- Taxa de transferência de calor atravessando a superfície cilíndrica de raio
:\n
- Fluxo térmico (densidade de fluxo radial, magnitude) em função de
:\n
Anote que, se precisar da temperatura, use
e imponha
para determinar constantes.