Em um cilindro sólido circular com aquecimento volumétrico uniforme e transferência de calor por convecção em sua superfície, como o fluxo térmico varia com o raio? Como a taxa de transferência de calor varia com o raio?

Passo 1

O enunciado fornece um cilindro sólido circular sujeito a aquecimento volumétrico uniforme e troca de calor por convecção na superfície externa. As perguntas são: (1) como o fluxo térmico varia com o raio? e (2) como a taxa de transferência de calor varia com o raio?\n
Informações relevantes que vamos usar (nomes e símbolos que eu defino aqui para ficar claro):\n
  • Aquecimento volumétrico uniforme: taxa de geração de calor por unidade de volume \dot{q}''' (unidade: \mathrm{W/m^3}).\n
  • Condutividade térmica do material: k (unidade: \mathrm{W/(m\cdot K)}).\n
  • Raio externo do cilindro: R (unidade: m). Comprimento do cilindro: L (unidade: m).\n
  • Convecção na superfície externa: coeficiente convectivo h e temperatura ambiente T_\infty (usados só se precisarmos relacionar temperatura na superfície).\n
  • Variável radial: r com 0\le r\le R.\n
    O enunciado pede essencialmente duas coisas para qualquer superfície cilíndrica de raio r: (a) o fluxo térmico (densidade de fluxo, por unidade de área normal) em função de r; (b) a taxa de transferência de calor (potência atravessando a superfície cilíndrica de raio r) em função de r.

Passo 2

Modelo físico e balanço de energia elementar (ideia geral antes de calcular):\n
  • Em regime estacionário, a potência gerada dentro do volume de raio r deve ser igual à potência que atravessa a superfície cilíndrica de raio r (pois não há acumulação de energia no regime estacionário). Isso é apenas conservação de energia para o volume interno.\n
  • A potência gerada no volume interno é a integral da geração volumétrica sobre o volume do cilindro de raio r e comprimento L.\n
  • A potência atravessando a superfície cilíndrica de raio r é a densidade de fluxo radial (potência por área) multiplicada pela área lateral da superfície cilíndrica ( 2\pi r L).\n
    Vou aplicar esse balanço quantitativamente no próximo passo.

Passo 3

Calcular a potência gerada no interior de um cilindro de raio r e comprimento L.\n
A geração volumétrica é \dot{q}''' (constante). O volume do cilindro de raio r e comprimento L é \pi r^{2} L. Portanto, a potência total gerada dentro desse volume é\n
\dot{Q}_{\text{gerada}}(r)=\dot{q}''' \times \text{volume} = \dot{q}''' \, \pi r^{2} L.
Este é o total de watts gerados por unidade de tempo dentro do cilindro de raio r.

Passo 4

Aplicar o balanço de energia: em regime estacionário, a potência gerada dentro de r sai pela superfície cilíndrica de raio r. Logo a taxa de transferência de calor atravessando a superfície de raio r é igual à potência gerada dentro:\n
\dot{Q}(r)=\dot{Q}_{\text{gerada}}(r)=\dot{q}''' \, \pi r^{2} L.
Isto responde diretamente a parte da pergunta sobre “taxa de transferência de calor” (a dependência com r é quadrática: \propto r^{2}). Vou explorar consequências e escrever o fluxo (densidade) agora.

Passo 5

Definir o fluxo térmico (densidade de fluxo radial): por definição, o fluxo radial q_r(r) (potência por unidade de área normal à superfície cilíndrica) é a potência atravessando a superfície dividida pela área lateral dessa superfície. A área lateral de um cilindro de raio r e comprimento L é 2\pi r L. Assim\n
q_r(r)=\frac{\dot{Q}(r)}{2\pi r L}=\frac{\dot{q}''' \, \pi r^{2} L}{2\pi r L}=\frac{\dot{q}''' r}{2}.
Portanto o fluxo térmico varia linearmente com r (proporcional a r). Observe que q_r(r) aqui é a magnitude do fluxo radial (potência por área); a direção é radial para fora (assumindo geração interna positiva e temperatura mais alta no interior).

Passo 6

Relacionar com a lei de Fourier e obter gradiente de temperatura (para entendimento completo e para o caso de precisar da temperatura):\n
A lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial, é
q_r(r)=-k\frac{dT}{dr},
onde q_r é o fluxo radial (por convenção, positivo para fora) e T(r) é a temperatura. Usando o resultado do passo anterior temos\n
-k\frac{dT}{dr}=\frac{\dot{q}''' r}{2}.
Isolando o gradiente:
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}''' r}{2k}.
Integrando em r para obter T(r): como \frac{dT}{dr} é uma função simples de r,
T(r)=T(0)-\int_{0}^{r}\frac{\dot{q}''' r'}{2k}\,dr' = T(0)-\frac{\dot{q}'''}{2k}\cdot\frac{r^{2}}{2},
ou seja
T(r)=T(0)-\frac{\dot{q}''' r^{2}}{4k}.
Aqui T(0) é a temperatura no eixo ( r=0), constante de integração que seria determinada pela condição de contorno na superfície (convecção em r=R: -k dT/dr|_{r=R}=h\,[T(R)-T_\infty]). Note que a forma do fluxo e da taxa são independentes de k e h — estas entram apenas na temperatura, não na conservação de energia que deu as dependências em r.

Passo 7

Interpretações físicas e pontos importantes (dicas para prova):\n
  • A taxa de transferência de calor que atravessa a superfície cilíndrica de raio r é a energia gerada dentro do volume interno: isto é intuitivo e fácil de argumentar com um pequeno balanço de energia — use essa ideia na prova.\n
  • A dependência quadrática \dot{Q}(r)=\dot{q}'''\pi r^{2}L vem diretamente da área do disco de raio r (volume gerador) e é independente de k e h.\n
  • O fluxo por unidade de área q_r(r)=\dot{q}''' r/2 é zero no centro (r=0) por simetria e cresce linearmente até a superfície. No extremo r=R temos\n
q_r(R)=\frac{\dot{q}''' R}{2},
e a taxa total retirada na superfície é
\dot{Q}(R)=\dot{q}'''\pi R^{2}L.\n
  • Se a questão pedir o sinal, usando a lei de Fourier a relação completa é -k\,dT/dr=\dot{q}''' r/2, o que dá dT/dr negativo (temperatura diminui para fora se a geração é positiva e T(0) é maior). Mas para dependência com r normalmente se pede a magnitude, que é \propto r para o fluxo e \propto r^{2} para a taxa.\n
  • Um exercício de verificação simples: para uma geração volumétrica nula ( \dot{q}'''=0) o fluxo e a taxa internos são zero, como esperado.

Passo 8

Resumo final prático para anotar na prova (forma pronta para usar):\n
  • Taxa de transferência de calor atravessando a superfície cilíndrica de raio r:\n
\dot{Q}(r)=\dot{q}''' \, \pi r^{2} L \quad(\text{proporcional a } r^{2}).\n
  • Fluxo térmico (densidade de fluxo radial, magnitude) em função de r:\n
q_r(r)=\frac{\dot{q}''' r}{2} \quad(\text{proporcional a } r).\n
Anote que, se precisar da temperatura, use -k\,dT/dr=q_r(r) e imponha -k\,dT/dr|_{r=R}=h\,[T(R)-T_\infty] para determinar constantes.

Resposta

\dot{Q}(r)=\dot{q}''' \,\pi r^{2} L\n
q_r(r)=\dfrac{\dot{q}''' r}{2}

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