A distribuição de velocidade para água (
) próxima à parede é dada por
, em que
2 mm e
é a distância da parede em mm. Pede-se:
- [40%] onde a tensão de cisalhamento será mínima? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de velocidade próxima à parede:
com
,
e
sendo a distância da parede (em mm). A pergunta é: onde a tensão de cisalhamento será mínima? (peça única). Vou listar as informações relevantes:
- velocidade
como função de : ; - constantes numéricas:
(m/s) e (mm); -
é a distância a partir da parede; - pede-se a posição (valor de
) onde a tensão de cisalhamento é mínima, com justificativa.
Passo 2
Explico o que é a tensão de cisalhamento aqui e a fórmula que vamos usar (sem pular etapas). Em fluidos newtonianos (como a água), a tensão de cisalhamento
é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal à parede. A relação é:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento local (unidade: ); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (para água a , ); -
é a derivada da velocidade em relação a , isto é, o gradiente de velocidade (unidade: ).
Então, para saber ondeé mínima, precisamos estudar como varia com .
Passo 3
Calculo passo a passo a derivada
. Começo com a função dada:
Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
Como
, obtemos
Observe aqui duas coisas importantes:
- o expoente é
, ou seja, que decresce quando aumenta; -
para , então a velocidade cresce com , mas o gradiente decresce com .
Passo 4
Agora escrevo a tensão de cisalhamento em função de
usando
:
Qual a dependência com
? A expressão é proporcional a
, ou seja,
Função com potência negativa
é monotonicamente decrescente quando
aumenta (para
). Portanto,
decresce com
: quanto mais longe da parede, menor é a tensão de cisalhamento.
Passo 5
Análise dos extremos e interpretação física:
- Comportamento próximo à parede (
): , logo . Ou seja, teoricamente a tensão é muito grande bem na superfície (isso vem do modelo com potência fracionária que tem singularidade em ). - Comportamento afastando-se da parede (
): , logo . Assim, a tensão de cisalhamento tende a zero quando nos afastamos suficientemente da parede.
Se o enunciado restringir a “região próxima à parede” até uma distância máxima (por exemplo até), então a menor tensão dentro dessa região ocorre no maior valor permitido de , isto é em . Para ver um valor numérico ilustrativo (convertendo para SI: ) temos
o que é apenas um exemplo numérico do valor em
.
Passo 6
Conclusão clara e intuitiva (jeito de prova): como
é proporcional a
e essa função decresce quando
cresce, a tensão de cisalhamento é mínima no maior
disponível no domínio considerado. Físico-intuitivamente: o cisalhamento vem do gradiente de velocidade; longe da parede o perfil fica mais “plano” (gradiente menor), logo menos cisalhamento.
Resposta
Se o domínio considerado é
sem limite superior: a tensão de cisalhamento é mínima quando
, pois
.
Se o domínio for limitado à região próxima à parede até
: a tensão de cisalhamento é mínima em
(valor
).