A distribuição de velocidade para água ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) próxima à parede é dada por u=a\left(\frac{y}{b}\right)^{1 / 6}, em que a=10 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}, b= 2 mm e y é a distância da parede em mm. Pede-se:
  • [40%] onde a tensão de cisalhamento será mínima? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de velocidade próxima à parede:
u = a\left(\frac{y}{b}\right)^{1/6},
com a=10\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}, b=2\\ \mathrm{mm} e y sendo a distância da parede (em mm). A pergunta é: onde a tensão de cisalhamento será mínima? (peça única). Vou listar as informações relevantes:
  • velocidade u como função de y: \displaystyle u=a\left(\frac{y}{b}\right)^{1/6};
  • constantes numéricas: a=10 (m/s) e b=2 (mm);
  • y\ge 0 é a distância a partir da parede;
  • pede-se a posição (valor de y) onde a tensão de cisalhamento é mínima, com justificativa.

Passo 2

Explico o que é a tensão de cisalhamento aqui e a fórmula que vamos usar (sem pular etapas). Em fluidos newtonianos (como a água), a tensão de cisalhamento \tau é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal à parede. A relação é:
\tau(y)=\mu\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau(y) é a tensão de cisalhamento local (unidade: \text{Pa});
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (para água a 20^\circ\mathrm{C}, \mu\approx 1{,}002\times10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s});
  • \dfrac{du}{dy} é a derivada da velocidade em relação a y, isto é, o gradiente de velocidade (unidade: \text{s}^{-1}).
    Então, para saber onde \tau é mínima, precisamos estudar como \dfrac{du}{dy} varia com y.

Passo 3

Calculo passo a passo a derivada \dfrac{du}{dy}. Começo com a função dada:
u(y)=a\left(\frac{y}{b}\right)^{1/6}.
Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
\frac{du}{dy}=a\cdot\frac{1}{6}\left(\frac{y}{b}\right)^{1/6-1}\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{b}\right).
Como \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y}{b}\right)=\dfrac{1}{b}, obtemos
\frac{du}{dy}=\frac{a}{6b}\left(\frac{y}{b}\right)^{-5/6}.
Observe aqui duas coisas importantes:
  • o expoente é -5/6, ou seja, \left(\dfrac{y}{b}\right)^{-5/6}=(y/b)^{-5/6} que decresce quando y aumenta;
  • \dfrac{du}{dy}>0 para y>0, então a velocidade cresce com y, mas o gradiente decresce com y.

Passo 4

Agora escrevo a tensão de cisalhamento em função de y usando \tau=\mu\,du/dy:
\tau(y)=\mu\frac{a}{6b}\left(\frac{y}{b}\right)^{-5/6}.
Qual a dependência com y? A expressão é proporcional a (y/b)^{-5/6}, ou seja,
\tau(y)\propto y^{-5/6}.
Função com potência negativa y^{-5/6} é monotonicamente decrescente quando y aumenta (para y>0). Portanto, \tau(y) decresce com y: quanto mais longe da parede, menor é a tensão de cisalhamento.

Passo 5

Análise dos extremos e interpretação física:
  • Comportamento próximo à parede ( y\to 0^+): \left(\dfrac{y}{b}\right)^{-5/6}\to +\infty, logo \tau(y)\to +\infty. Ou seja, teoricamente a tensão é muito grande bem na superfície (isso vem do modelo com potência fracionária que tem singularidade em y=0).
  • Comportamento afastando-se da parede ( y\to\infty): \left(\dfrac{y}{b}\right)^{-5/6}\to 0, logo \tau(y)\to 0. Assim, a tensão de cisalhamento tende a zero quando nos afastamos suficientemente da parede.
    Se o enunciado restringir a “região próxima à parede” até uma distância máxima (por exemplo até y=b=2\\ \text{mm}), então a menor tensão dentro dessa região ocorre no maior valor permitido de y, isto é em y=b. Para ver um valor numérico ilustrativo (convertendo b para SI: b=2\\ \text{mm}=2\times10^{-3}\\ \text{m}) temos
\tau(b)=\mu\frac{a}{6b}\approx (1{,}002\times10^{-3})\cdot\frac{10}{6\cdot 2\times10^{-3}}\approx 0{,}835\\ \text{Pa},
o que é apenas um exemplo numérico do valor em y=b.

Passo 6

Conclusão clara e intuitiva (jeito de prova): como \tau(y) é proporcional a y^{-5/6} e essa função decresce quando y cresce, a tensão de cisalhamento é mínima no maior y disponível no domínio considerado. Físico-intuitivamente: o cisalhamento vem do gradiente de velocidade; longe da parede o perfil fica mais “plano” (gradiente menor), logo menos cisalhamento.

Resposta

Se o domínio considerado é y\ge 0 sem limite superior: a tensão de cisalhamento é mínima quando y\to\infty, pois \tau(y)\to 0.
Se o domínio for limitado à região próxima à parede até y=b=2\\ \text{mm}: a tensão de cisalhamento é mínima em y=b=2\\ \text{mm} (valor \tau(b)\approx 0{,}835\\ \text{Pa}).

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